Dos vecindarios $V_\delta(a)$ y $V_\epsilon(b)$ son disjuntos si y solo si $\epsilon+\delta\le|b-a|$

Question

Estoy empezando a estudiar análisis real, y esto surgió en el libro, sin demostración:

($V_\epsilon(a)$ denota el vecindario $\epsilon$ de $a$)

Para todo $a,b \in \mathbb{R}$; $\delta,\epsilon >0$ : $\epsilon+\delta \le \lvert b-a \rvert \iff V_\delta(a) \cap V_\epsilon(b) = \emptyset$

Fácilmente probé que el lado izquierdo implica el derecho, por contradicción, pero no puedo encontrar cómo probar el resto. Intenté demostrar que hay un $x$ para el cual $|x-a|<\delta$ y $|x-b|<\epsilon$ cuando el lado izquierdo es falso, pensando que $x=(a+\delta+b-\epsilon)/2$ funciona (cuando $a\le b$), pero está mal o no puedo llegar al resultado deseado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, asumamos que $a0$ y $b-x>0.$ Entonces: $$\delta +\epsilon \leq |x-a|+|x-b|= x-a-(x-b)=b-a=|b-a|.$$

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, asumamos que $a

Hay cuatro números para considerar:

$$a-\delta, a+\delta, b-\epsilon, b+\epsilon$$

La intersección de $$ ( a-\delta, a+\delta)$$ y $$(b-\epsilon, b+\epsilon)$$ es vacía si y solo si $$ a+\delta \le b-\epsilon$$ Lo cual es equivalente a $$ \delta +\epsilon \le b-a$$

Así, la intersección no es vacía si y solo si $$ \delta +\epsilon >b-a$$