[Prueba]. Un operador lineal T es inyectivo si y solo si $N(T) = \{0\}$

Question

Parte 1

Sea $T:X \rightarrow Y$ un operador lineal que es inyectivo, Ya que $T0=0$ para $0 \in X$. Elija $x \in X$ tal que $x \neq 0$, lo que implicaría que $Tx \neq 0$ (ya que $T$ es inyectivo), entonces el conjunto de todos los vectores en $X$ que hacen $Tx=0$ es el conjunto unitario $\{0\}$ $\implies$ $N(T)=\{0\}$.

Recíprocamente,

Sea $N(T)=\{0\}$ $\implies$ [ $Tx=0 \implies x=0$ para $x \in X$ ] ahora si elegimos $x_o \neq 0 \implies x_o \notin N(T) \implies Tx_o \neq T0 \implies$ $T$ es inyectivo.

Answer 1

Necesitas linealidad en algún lugar.

Si $T$ es inyectiva, entonces $T(0)=0$ y por lo tanto $x \neq 0$ implica $T(x) \neq T(0)=0$. Esto significa que $N(T)=\{0\}$.

Supongamos que $N(T)=\{0\}$, entonces supongamos que $T(x) = T(y)$. Luego $0=T(x)-T(y) = T(x-y)$ por linealidad y por lo tanto $x-y = 0$, ya que $x-y \in N(T)=\{0\}$. Por lo tanto $x=y$ y $T$ es de hecho inyectiva.