¿Cuántos Planos de Fano podemos construir con los números del $1$ al $35$?

Question

El plano de Fano es el plano proyectivo finito de orden 2, con el menor número posible de puntos y líneas, 7 cada uno, con 3 puntos en cada línea y 3 líneas pasando por cada punto.

Supongamos que queremos hacer planos de Fano con los números del $1$ al $35.

¿Cuántos planos de Fano podemos hacer de esta manera?

Observa que para cada dos planos de Fano como $F_1$ y $F_2$, $F_1$ y $F_2$ no deben compartir ningún bloque.

Nota: Lo que intenté ...
Dije que podemos hacer $35 \choose 3$ bloques en total (llamemos a ese número $Z$).
Cada vez que queremos construir un plano de Fano, elegimos $Z \choose 7$ bloques de manera que la unión de estos bloques tenga exactamente 7 elementos. Pero el problema es que no sé cómo controlar este proceso.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $L$ el conjunto de $35$ líneas de $PG(3,2)$. Para cada plano $\pi$ contenido en $PG(3,2)$, definimos $P_\pi$ como el conjunto de $7$ líneas contenidas en $\pi$, y para cada punto $p \in \pi$, definimos $L_p = \{\ell \in P_\pi:p \in \ell\}$. Entonces la estructura de incidencia $(P_\pi,L_\pi = \{L_p:p \in \pi\})$ es un plano de Fano (los axiomas se siguen de las afirmaciones duales para $\pi$). Variando esta construcción sobre los $15$ planos en $PG(3,2)$ se obtienen $15$ planos de Fano disjuntos en bloques sobre un conjunto de $35$ puntos.

Esto casi definitivamente no es el máximo, pero es una construcción interesante.