¿Cómo se pueden expresar los axiomas de la Teoría de Categorías en Lógica de Predicados?

Question

He estado intentando formalmente establecer los axiomas de la categoría en lógica de predicados. Parece que necesitaré predicados de un lugar para objetos y flechas, predicados de dos lugares para las cabezas y colas de flechas y un predicado de tres lugares para la composición. Estoy tratando de evitar el uso de la notación funcional que se encuentra en la mayoría de las definiciones de CT, notación que, según entiendo, pertenece más correctamente al dominio de la teoría de conjuntos.

---

EDICIÓN: La lógica de predicados por sí sola parece ser completamente inadecuada como lenguaje para expresar los axiomas de la teoría de categorías. No veo ninguna manera de evitar comenzar con 11 variables cuantificadas universalmente en lógica de predicados para el axioma de asociatividad, en comparación con solo 3 al usar la notación '$\circ$' para la composición de flechas. (Suspiro)

Answer 1

En realidad, puedes arreglártelas con un lenguaje más pequeño: una relación ternaria (composición $Comp$) y dos funciones unarias (fuente $s$ y objetivo $t$). Confundimos objetos con flechas de identidad, por lo que no necesitamos un tipo separado para objetos en absoluto.

Ahora los axiomas son directos:

• "Las composiciones se comportan correctamente." Para cada par de flechas $\alpha, \beta$, hay a lo sumo una flecha $\gamma$ tal que $Comp(\alpha, \beta, \gamma)$; y tal $\gamma$ existe si y solo si $s(\beta) = t(\alpha)$.

• "El origen y el objetivo de una flecha de identidad son ellos mismos." $t(t(\alpha)) = s(t(\alpha)) \wedge t(s(\alpha)) = s(s(\alpha))$.

• "Las composiciones son asociativas." Esto es un poco largo. Por ejemplo, para escribir $(\alpha\beta)\delta = \alpha(\beta\delta)$, escribiríamos $Comp(\alpha, \beta, \gamma) \wedge Comp(\gamma, \delta, \epsilon) \wedge Comp(\beta, \delta, \theta) \implies Comp(\alpha, \theta, \epsilon).$ Pero es totalmente factible.

• "Las identidades son identidades." $Comp(\alpha, \beta, \gamma) \wedge s(\alpha) = \alpha \implies \beta = \gamma$, y de manera similar para la composición en la derecha.

• "Las identidades son su propio origen y objetivo." $t(\alpha) = \alpha \iff s(\alpha) = \alpha$.

¡Y eso es todo!

---

Esto no es debido a mí; lo leí en el libro de Goldblatt Topoi. No recuerdo a quién lo atribuyó.