¿Cómo puedo encontrar (o elegir) la dirección de un vector en relación con otro objeto (como un plano)?

Question

Estoy trabajando en un problema que requiere encontrar la distancia más corta desde un punto hasta un plano. Puedo resolver el problema proyectando cualquier vector que conecte un punto (fuera del plano) al plano, en el vector normal del plano.

La ecuación del plano se da por $$ P = (4,2,3) +s(1,-1,1)+t(0,1,2) $$ Un punto no en el plano es $Q=(1,2,3)$. Un vector que conecta Q con P se puede encontrar seleccionando un punto B en el plano, de la siguiente manera: $\bar{v} = B-Q = (4,2,3)-(1,2,3) = (3,0,0)$. El normal $\bar{n}_p = (-3,-2,1)$ se encuentra calculando el producto cruzado de los dos vectores de dirección del plano y $\bar{w}$ se puede encontrar por medio de $Proj_{\bar{n}_p$} \bar{v} =(27/14,\, 9/7,\, -1/14)$

He ilustrado el montaje abajo:

Tengo tres preguntas sobre esto:

1. ¿Es correcto decir que conocemos que la dirección de $\bar{v}$ es hacia el plano?

2. ¿Es correcto decir que no conocemos la dirección de $\bar{n}_p$ con respecto al plano? es decir, ¿es la dirección de $\bar{n}_p$ hacia Q o en la dirección opuesta?

3. ¿Cómo puedo encontrar, o forzar, que $\bar{w}$ "apunte" al Plano?

Nota: No soy un estudiante de matemáticas, así que agradecería si pudiera recibir una respuesta que sea en un nivel básico razonable. ¡Gracias!

Answer 1

1. ¿Es correcto decir que sabemos que la dirección de $\bar{v}$ es hacia el plano?

Sí, esto se debe a que el punto de partida Q está fuera del plano, y el punto final B está en el plano por construcción (es decir, tu vector está definido como la diferencia $B-Q$ (hacia), en lugar de $Q-B$ (alejándose)).

2. ¿Es correcto decir que no conocemos la dirección de $\bar{n}_p$ en relación con el plano? es decir, ¿la dirección de $\bar{n}_p$ es hacia Q o en la dirección opuesta?

La orientación de $\bar{n}_p$ dependerá del orden de los operadores en el producto cruzado (apuntará en la dirección opuesta si los intercambias). La dirección sigue la regla de la mano derecha, pero es difícil de aplicar si estás trabajando con componentes. Puedes dotar $\bar{n}_p$ con $\bar{v}$ para averiguar hacia dónde apunta $\bar{n}_p$ con respecto a Q. Si está en el mismo lado que Q, el producto punto será negativo (simplemente porque los dos vectores forman un ángulo > 90 grados).

En tu ejemplo específico
$$\bar{n}_p \cdot \bar{v} = [-3, -2, 1]\cdot[3, 0, 0] = (-3)(3) + (-2)(0) + (1)(0) = -9$$ así que la normal está en el mismo lado que Q.

Además, ten en cuenta que el producto cruzado en general no te dará una normal unitaria (de longitud 1, también conocida como normalizada); algunas operaciones requieren una normal de longitud unitaria. Para normalizarla, divide cada componente por la longitud actual del vector $\bar{n}_p$. Además, si $\bar{n}_p$ no está orientado de la forma que deseas, simplemente inviértelo multiplicándolo por -1.

3. ¿Cómo puedo encontrar, o forzar, que $\bar{w}$ "apunte" al plano?

Si este es un problema de programación, o si estás usando algunas herramientas de software, parece que el procedimiento de proyección que estás utilizando ($Proj_{\bar{n}_p}$} \bar{v}$) retiene la dirección adecuada del componente vectorial proyectado de $\bar{v}$ independientemente del normal que hayas elegido. Solo una cosa: asumo que el -1/14 para el componente z es un error tipográfico, ¿debería ser -9/14?

Pero si lo hicieras "manualmente", si tienes una normal de longitud unitaria $\hat{n}_p$, entonces el producto punto $\hat{n}_p \cdot \bar{v}$ te dará la longitud (firmada) $w$ del componente proyectado, y luego puedes recuperar $\bar{w}$ simplemente escalando la normal unitaria por $w$, usando $\bar{w} = w \hat{n}$ (como el signo está "incorporado" en $w$, la dirección se invertirá según sea necesario).