Espera de ray-casting

Question

Supongamos que tenemos un volumen lleno de pequeñas superficies. Si lanzamos un rayo desde un punto dado, la probabilidad de que el rayo no golpee una superficie se da como

$P(rayo\ no\ golpea) = exp(-\alpha d/\cos\theta)$

donde $\alpha$ es algún factor de decaimiento, $d/cos\theta$ es la longitud del camino del rayo dentro del volumen.

¿Cómo podemos calcular el valor esperado de lanzar un rayo en las direcciones $(\theta, \phi)$, donde $0<\theta<\pi/2$ y $0<\phi<2\pi$?

Answer 1

Estoy aplicando un poco de conjetura interpretativa a tu pregunta tal como está formulada.

Trabajemos en coordenadas cilíndricas $(z, \rho, \phi)$, donde $\rho^2 = x^2 + y^2$ y $\tan \phi = x/y$. El ángulo desde el eje $z$ hasta cualquier punto lo designaremos como $\theta$, donde $\tan \theta = \rho/z$. Los rayos (que podemos describir mediante los ángulos $\phi$ y $\theta$) se disparan desde el origen hacia el plano infinito $z = d$, donde $d > 0$. La probabilidad de que un rayo impacte es $\exp (-\alpha d\, \sec \theta)$; la simetría esférica del problema nos permite ignorar $\phi$. (Creo que lo has invertido en tu pregunta, queremos que la probabilidad de que un rayo impacte tienda a 0 cuando $d \to \infty$, no la probabilidad de que un rayo no impacte). Luego, la probabilidad general de que un rayo impacte, teniendo en cuenta los límites en $\theta$ impuestos por tu pregunta, es simplemente $$\int_0^{\pi/2} \exp (-\alpha d \sec \theta)\, d\theta$$ lo cual, desafortunadamente, creo que no tiene una forma cerrada (para $\alpha d = 1$, el valor numérico es aproximadamente $0.3283$ según WolframAlpha).