Distribución asintótica de $X_{(n)}$

Question

Sea $X_1,X_2,\dots,X_n \sim U(0,1)$. Son iid. Sea $X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$, entonces ¿cuál es la distribución asintótica de $X_{(n)}$?

Conozco el método para encontrar la distribución asintótica mediante Método Delta pero no puedo encontrar la derivada aquí. Como el método delta dice que $$ \sqrt{n}\Big(g(X_n)-g(\theta)\Big)\sim N\big(0,\sigma^2[g^\prime(\theta)]^2\big) $$ Pero ¿cómo calcular $[g^\prime(\theta)]^2$?

Answer 1

La función de distribución acumulada (CDF) de $X_{(n)}$ es $$F_{X_{(n)}}(t) = \mathbb P(X_{(n)} \le t) = t^n \ \text{para}\ 0 < t < 1$$ Para tener un límite no trivial cuando $n \to \infty$, querremos que $t \sim 1 - \text{const} / n$. Así que para $0 < s < n$, $$F_{X_{(n)}}(1 - s/n) = (1-s/n)^n \to \exp(-s)$$ Dado que el lado izquierdo se puede escribir como $\mathbb P(n(1-X_{(n)}) \ge s$, esto indica que $n(1-X_{(n)})$ converge en distribución a una distribución exponencial con parámetro $1$.

Answer 2

Para $0

$$F_{X_n}(t)=P(\max\{X_1,...X_n\}\le t)=P(X_1\le t,\ldots,X_n\le t)=P(X_1\le t)\cdots P(X_n\le t)=t^n$$

Entonces

$$F_{X_n}(t)= \begin{cases} 0 & \text{ si } t\le 0\\ t^n & \text{ si } 0

De la ecuación anterior es claro que $X_{(n)}\xrightarrow{P} 1$ (y en distribución). Sin embargo, esta declaración de límite a una distribución degenerada no revela completamente la distribución asintótica de $X_{(n)}$. Entonces buscamos secuencias $k_n$ y $a_n$ tales que $k_n(X_{(n)}-a_n)$ tenga una distribución límite no degenerada.

Calculando la función de distribución de $k_n(X_{(n)}-a_n)$ directamente tenemos:

$$F(u)=P(k_n(X_{(n)}-a_n)\le u)=P\left(X_{(n)}\le\frac{u}{k_n}+a_n\right)$$

mientras $k_n>0$. Por lo tanto:

$$F(u)=\left(\frac{u}{k_n}+a_n\right)^n\text{ para }0<\frac{u}{k_n}+a_n<1$$

Nos gustaría que esta expresión tienda a un límite que solo involucre $u$ a medida que $n\rightarrow\infty$.

Observamos que si tomamos $a_n=1$ y $k_n=n$ entonces $F(u)=\left(1+\frac{u}{n}\right)^n$ lo cual tiende a $e^u$

Observamos además que los valores de $u$ que hacen que el límite anterior sea válido son $0|u|$. Concluimos que la variable aleatoria $U$ tiene la función de distribución:

$$F(u)= \begin{cases} e^u & \text{ si }u\le 0\\ 1 & \text{ si }u > 0 \end{cases} $$

entonces $n(X_{(n)}-1)\xrightarrow{d} U$. Dado que $-U$ es una variable aleatoria exponencial estándar, también podemos escribir:

$$n(1-X_{(n)})\xrightarrow{d} \text{Exponencial}(1)$$

Answer 3

\begin{align} \text{correcto: } \sqrt{n}\Big(g(\,\overline X_n)-g(\theta)\Big) & \sim N\big(0, \sigma^2 [g^\prime(\theta)]^2\big) \\ \text{incorrecto: } \sqrt{n}\Big(g(X_n)-g(\theta)\Big) & \sim N\big(0, \sigma^2 [g^\prime(\theta)]^2\big) \end{align}

La primera página del archivo pdf al que enlazas, sobre el método delta, trata sobre la distribución de $\bar X_n$, no sobre la de $X_n$ o de $X_{(n)} = \max\{ X_1, \ldots, X_n \}.$

Debo refutar la respuesta de "Momo". Observa que la ley débil de los grandes números nos dice que, en el límite, la distribución de $\overline X_n$ coloca probabilidad $1$ en el valor esperado, usualmente denotado por $\mu$. Pero las dos líneas mostradas arriba hablan de la distribución de $\sqrt n\left(\,\overline X_n - \mu\right)$, la cual está dada por el teorema del límite central como una distribución normal. La diferencia entre estos resultados es que estamos escalando multiplicando por $\sqrt n$. Tal como el teorema del límite central nos da una media muestral distribuida normalmente, obtendremos un máximo muestral distribuido de forma exponencial.

Tenemos \begin{align} \operatorname{E}(\,X_{(n)} ) & = \frac n {n+1}, \\[10pt] \operatorname{var}(\,X_{(n)}) & = \frac n {(n+2)(n+1)^2} \sim \frac 1 {(n+1)^2} \end{align} donde $A\sim B$ significa que $A/B\to 1$ cuando $n\to\infty$. Así que la desviación estándar de $X_{(n)}$ es asintóticamente $1/(n+1)$.

Ahora tenemos \begin{align} \text{para } x>0, & \quad \Pr\left( \frac{1-X_{(n)}}{\sqrt{\operatorname{var}(X_{(n)})}} > x \right) = \Pr\Big( (n+1)(1 - X_{(n)}) > x\Big) \\[10pt] = {} & \Pr \left( X_{(n)} < 1 - \frac x {n+1} \right) = \left( 1 - \frac x {n+1} \right)^n \to e^{-x} \text{ cuando } n\to\infty. \end{align}

Así que asintóticamente, $(n+1) ( 1-X_{(n)} )$ está distribuido exponencialmente con valor esperado $1$.

La multiplicación por $(n+1)$ juega el mismo tipo de papel que la multiplicación por $\sqrt n$ en el teorema del límite central.

Ninguno de estos hechos altera el hecho de que la distribución límite de $X_{(n)}$ concentra probabilidad $1$ en $1$ (como se muestra en la respuesta de "Momo"), al igual que la media muestral de una distribución con varianza finita concentra probabilidad $1$ en la media poblacional. Sin embargo, la "distribución asintótica" implica la reescala al multiplicar por $\sqrt n$ en las dos primeras líneas de esta respuesta y en el teorema del límite central, y por $n+1$ en el resultado mostrado aquí.