El mapa de $S^{4n+3} \to \mathbb H P^n$ da cuenta de la fuente como un $SU(2)$-paquete sobre el objetivo. Por la característica universal de pull-backs (productos de fibra), una de morfismos
$f: X \to \mathbb H P^n$ levanta a una de morfismos $\tilde{f}: X \to S^{4n + 3}$ si y sólo si la sacó de nuevo bundle $f^* S^{4n+3}$ ($SU(2)$- paquete de más de $X$) admite una sección.
Así que la pregunta parece romper en dos partes:
(a) ¿cuáles son los invariantes que clasificar a un $SU(2)$-bundle; y
(b) ¿cuáles son estos invariantes en el caso particular de $S^{4n+3}$$\mathbb H P^n$.
Ahora la respuesta a estas preguntas es al menos en parte relacionado con clases de Chern. Si $f^* S^{4n+3}$ es trivial,
a continuación, $f^*$ al menos debe matar a las clases de Chern de $S^{4n+3} \to \mathbb H P^n$.
En general, para un rango de $2$ paquete, hay dos clases de Chern, $c_1 \in H^2$$c_2 \in H^4$. Cuando el conjunto tiene estructura de grupo $SU(2)$, la clase $c_1$ se desvanece, y por ello la única interesante clase de Chern es $c_2 \in H^4$.
Esto encaja bien con el caso de $\mathbb H P^n$, lo que ha de fuga $H^2$,
pero cuyas $H^4$ es unidimensional, generado por la $c_2$ de los Hopf paquete
(Creo).
Hasta ahora, este análisis es totalmente en línea con el correspondiente $\mathbb C P^n$ de los casos. Pero hay una diferencia clave entre los dos:
Para $S^1$-paquetes, la primera clase de Chern $c_1$ es una completa invariante (si trabajamos con la integral cohomology),
así que si se desvanece, el $S^1$-bundle es trivial. Así, en el caso de un morfismos
$f: X \to \mathbb C P^n$, la trivialidad de la $f^* H^2$ es no sólo necesario, sino
también es suficiente, para $f$ a levantar a $\tilde{f}: X \to S^{2n+1}$.
Para $SU(2)$-paquetes, la segunda clase de Chern $c_2$ es no una completa invariante.
A mi entender (aunque puedo estar equivocado) es que se trata de una completa racional invariante. Pero hay otros torsión invariantes, tales como la clase en $\pi_5$ que encontró.
De hecho, tenemos que $BSU(2) = \mathbb HP^{\infty}$, con
$S^{\infty} \to \mathbb H P^{\infty}$ el universal $SU(2)$-bundle.
(Ver, por ejemplo, la discusión aquí en la página.81.)
Ahora $S^{\infty}$ es contráctiles, y así vemos que el $\pi_i(\mathbb H P^{\infty}) = \pi_{i-1}(S^3).$, En particular, si trabajamos con rational homotopy, ya $S^3$ sólo tiene un no-fuga racional homotopy grupo, en el grado $3$, podemos ver que $\mathbb H P^{\infty}$ sólo tiene un no-fuga racional homotopy grupo, en el grado $4$. (Y su generador de es $c_2$ de la universal bundle; así que supongo que mi sugerencia de que $c_2$ es una completa racional invariante es correcta.)
Pero $S^3$ tiene un montón de torsión más alto homotopy, y por lo tanto también lo hace $\mathbb H P^{\infty}$.
En este punto, tengo que dejar, ya que no estoy seguro de cómo ir sobre, aparte de señalar ciertas explícito de torsión obstrucciones, como en el OP.
Añadido: yo creo que estamos, literalmente, en el contexto de esta wikipedia discusión acerca de los obstáculos para el levantamiento de las secciones de los principales paquetes.
La clase $c_2 \in H^4$ es la primera obstrucción, procedentes de $\pi_3(S^3)$. El próximo obstrucción (si éste desaparece) será una clase en $H^5$ con coeficientes en $\pi_4(S^3) = \mathbb Z/2;$ para el mapa de $S^5 \to \mathbb H P^n$ que se discute, esta obstrucción puede ser distinto de cero.
Desde $S^3$ tiene muchas (!) otros no desapareciendo homotopy grupos, habrá mayor
obstrucciones demasiado (al menos como $n$ crece).
Para lo que vale,
Creo que el problema de la informática, estos mayores obstáculos también está relacionado con el problema de calcular una Postinikov torre para $\mathbb H P^{\infty}$.
