La trayectoria más famosa del problema $3x+1$

Question

Creo que la trayectoria más famosa y hermosa del problema $3x+1$ es sin duda la que comienza desde $n=27$ y tiene un máximo en $9232$.

Lo que encuentro muy hermoso es que:

$$19\cdot 3^3=513\equiv 1\pmod {2^k}$$

Y

$$\frac{9232}{2}=19\cdot 3^5-1$$

¿Es casualidad o hay una conexión profunda con el número primo $19$ y el orden de $19\cdot 3^s\pmod {2^k}$?

¿Existen otras trayectorias con características similares?

Answer 1

Eso es bastante común en las trayectorias de Collatz. Toma cualquier número impar y escríbelo como $a\cdot2^n-1$, siempre subirá hasta $a\cdot 3^n-1$ en exactamente $n$ pasos de la función $f(x)=\frac{3x+1}{2}$. A partir de ahí será divisible por $2^k$ con $k>0$. Así que simplemente elige $a$ primo y encontrarás muchos de ellos con varios valores de $k$. $$a\cdot3^n\equiv 1\bmod(2^k)$$ Eso se llama un "1-ciclo"