Suponga que dije "$X$ abarca $W$" ...

Question

Así que he visto dos definiciones de esto:

Sea $V$ un espacio vectorial con subespacio $W$. Decimos que $X \subseteq V$ abarca $W$ si y solo si

(Definición 1): Cada $\vec{w} \in W$ puede ser escrito como una combinación lineal de vectores en $X$.

(Definición 2): $span(X) = W$.

No creo que las dos definiciones sean equivalentes ¿verdad? Claramente la condición en la Def. 2 implica la condición en la Def. 1, pero no al revés.

Por ejemplo, toma $V$ como el espacio vectorial de pares ordenados sobre $\mathbb{Z}_2$, entonces si $W = \{(0,0),(1,1)\}$ y $X=\{(0,1),(1,0)\}$, $X$ abarca $W$ según la primera definición, pero no según la segunda.

Entonces, ¿qué habrías entendido si te hubiera dicho que "$X$ abarca $W$"? ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo conmigo?

Sé que la práctica habitual es "clarificar tus definiciones desde el principio" en cualquier trabajo que estés haciendo, y que mientras lo hagas estará bien, pero solo quiero saber cuál sería la interpretación inmediata de las personas. Porque afecta un poco el proceso de lectura y comprensión.

(Para que conste, soy partidario de la Definición 1.)

Answer 1

Mi sensación con respecto a esta terminología es que la frase "$X$ abarca $W$" debería ser consistente con la frase "el espacio generado por $X$ es $W$". Es común definir "el espacio generado" de un conjunto, por lo que la primera definición, que implica que $X$ podría abarcar subespacios distintos, es inconsistente con "el espacio generado".

De hecho, encuentro interesante esta pregunta porque ciertas formulaciones de la definición de "abarcar" podrían llevar a esta confusión; específicamente aquellas formulaciones que involucran el abarcamiento de subespacios.

Probablemente una buena definición es: si $V$ es un espacio vectorial y $X\subseteq V$ es un conjunto, entonces decimos que $X$ abarca $V$ si todo $v\in V$ puede ser escrito como una combinación lineal de elementos de $X$. De esta manera, se hace referencia a un conjunto de vectores dentro de un espacio vectorial.

Por lo tanto, en este caso decir que $X$ abarca $W$ solo tiene sentido en el caso de que $X\subseteq W. Es como si$V$ dejara de existir por un breve momento de reflexión matemática.