¿De cuántas maneras pueden $3$ polígonos regulares encontrarse en un vértice?

Question

Esto es equivalente a las soluciones enteras positivas a $$\frac{a-2}{a} + \frac{b-2}{b} + \frac{c-2}{c} = 2$$ con $3 \le a \le b \le c$.

Se pueden adivinar soluciones pequeñas como $(6, 6, 6)$ y $(4, 8, 8)$, pero existen otras soluciones como $(4, 5, 20)$.

Answer 1

Bueno, básicamente ${1\over a}+{1\over b} +{1\over c}={1\over2}$ es lo que deseas.

Dado que $a\geq b\geq c$ sabemos que debido a ${({1\over2})\over3}={1\over6}$, ${1\over c}\geq{1\over6}$ y por lo tanto $c\leq 6$.

Esto nos deja con cuatro posibilidades.

(1) $c=3$ luego ${1\over a}+{1\over b}={1\over 6}\implies ab=6a+6b\implies (a-6)(b-6)=36

(2) $c=4$ luego ${1\over a}+{1\over b}={1\over 4}\implies ab=4a+4b\implies (a-4)(b-4)=16

(3) $c=5$ luego ${1\over a}+{1\over b}={3\over 10}\implies 3ab=10a+10b\implies (3a-10)(3b-10)=100

(4) $c=6$ luego ${1\over a}+{1\over b}={1\over 3}\implies ab=3a+3b\implies (a-3)(b-3)=9