Números complejos; propiedades trigonométricas

Question

Tengo problemas para hacer este ejercicio:

Sea $z = cos + isin$ Expandir $(z + z^{1})^6 y (z-z^{1})^6$ Luego mostrar que $cos^6+sin^6=1/8(3cos4+5)$

Expandí estos dos paréntesis y obtuve: $2cos6+12cos4+30cos2+20$ para el primero y $2cos6-12cos4+30cos2-20$ para el segundo

¿Es eso correcto?

También sé que $(z + z^{1})^6$ es $64cos^6$ y $(z-z^{1})^6$ es $64sin^6$

pero cuando sumo estos dos resultados no funciona

¿Dónde está mi error?

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

$$z-z^{-1}=2i\sin\theta\implies(z-z^{-1})^6=(2\sin\theta)^6i^6=-64\sin^6\theta$$

$$64(\cos^6\theta+\sin^6\theta)=(z+z^{-1})^6-(z-z^{-1})^6=2\left[\binom61\left(z^4+z^{-4}\right)+\binom63\right]$$

Translation:

$$z-z^{-1}=2i\sin\theta\implies(z-z^{-1})^6=(2\sin\theta)^6i^6=-64\sin^6\theta$$

$$64(\cos^6\theta+\sin^6\theta)=(z+z^{-1})^6-(z-z^{-1})^6=2\left[\binom61\left(z^4+z^{-4}\right)+\binom63\right]$$