¿Cómo abordar esta serie utilizando la prueba de comparación: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{\sqrt[3]{n^2-\frac12}}$?

Question

Estoy preguntándome si alguien podría darme una dirección para seguir con la siguiente serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2-\frac{1}{2}}} $$

Me pregunto cómo puedo mostrar si esta serie diverge/converge utilizando la prueba de comparación para series; esta serie se asemeja un poco a $1/n$ que diverge, por lo tanto estoy pensando en algo así.

Sinceramente estoy atascado, ¡y realmente apreciaría una pista!

Answer 1

N siempre es > 1 y esto nos permite usar la desigualdad AM-GM,

$^3\sqrt\frac 1{(n-\frac 1{\sqrt{2}})(n+\frac 1{\sqrt{2}})} > \ ^3\sqrt{\frac{1}{n^2}}$ (lo cual sorprendentemente es lo mismo que usar el sentido común; No importa)

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2-\frac{1}{2}}} > \sum_1^\infty \frac{1}{n^{2/3}}$$

si n>1,

$n^{2/3} Lo cual es una consecuencia de la Desigualdad Trivial*,

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2-\frac{1}{2}}} > \sum_1^\infty \frac{1}{n}$$

Lo cual diverge.

Ahí lo tienes.

Si necesitas más comodidad al enfrentar comparaciones te sugiero revisar Desigualdades como la Desigualdad Trivial, la desigualdad RMS-AM-GM-HM y la Desigualdad de Cauchy-Schwarz aunque estas podrían no ser tan útiles.

(*)$n^2>n \rightarrow n^3>n^2 \rightarrow n>n^{2/3}$ ya que estamos tomando raíces principales y n Real>1