Breve pregunta sobre el flujo en el grupo lineal general

Question

Digamos que tenemos un campo vectorial en $GL(n,R)$, dado por $A \rightarrow (A,A^2)$ (aquí me refiero a la potencia de la matriz). Si intentamos encontrar el flujo de este campo vectorial, obtengo que debería ser: $X(A,t) = e^{tA^2}A$, donde $e^{tA^2}$ es la exponencial de matriz aquí. Sin embargo, como me siento algo inseguro sobre el material, no estoy seguro de que mi enfoque sea correcto. ¿Alguien podría confirmar si este método es correcto y, de ser así, seguirá nuestro campo vectorial siendo completo? Sospecho fuertemente que ese es el caso.

Si estoy equivocado, me encantaría recibir alguna pista que me pueda orientar en la dirección correcta.

Answer 1

He intentado buscar un poco en Google para encontrar un sentido de "el flujo de un campo vectorial" donde $X(A,t)=e^{tA^2}A$ sería una solución correcta, pero en vano. ¿Requieres $\frac{d}{dt}X(A,t) = X(A,t)^2$ y $X(A,0)=A, verdad?

En ese caso, para $GL(1,\mathbb R)$ se reduce a una ecuación diferencial ordinaria $\frac{dy}{dt}=y^2$ que se resuelve fácilmente para encontrar $y=\frac{1}{y_0^{-1}-t}$ que es significativamente diferente de $y=e^{ty_0^2}y_0$

Por otro lado, intuitivamente y por analogía al caso real, $X(A,t) = (A^{-1}-tI)^{-1}$ debería funcionar. Si $A$ tiene un autovalor real positivo esto tiene sentido solo para $t<1/\lambda$ donde $\lambda$ es el mayor autovalor tal, pero esto se asemeja a la explosión vertical de la solución real y por lo tanto se espera. (Y, aplicando la regla de Cramer vemos que el inverso realmente escapa hacia el infinito antes de que deje de tener sentido).