¿Puede alguien ayudarme a resolver esta desigualdad?
$$x^2-{\{x\}}^2\leq0$$
Intenté resolverlo pero no sé cómo abordar desigualdades que involucran la parte fraccionaria. Por favor ayúdenme.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Anurag A
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Observe que la desigualdad dada es $$(x-\{x\})(x+\{x\}) \leq 0.$$
Cada número real $x=I+f$, donde $I \in \Bbb{Z}$ y $0 \leq f <1$. Básicamente $I$ es la parte entera (así que $I=x-\{x\}$) y $f=\{x\}$ es la parte fraccionaria. Entonces queremos $$I(I+2f) \leq 0.$$
Observe que si $x \in \Bbb{Z}$, es decir, $x=I$, entonces tenemos $I^2 \leq 0$, lo que significa que $\color{red}{x=0}$ es la única solución entera.
Así que asumamos que $x \in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Z}$, es decir, $x=I+f$ con $0 . Entonces nuestra desigualdad se puede escribir como $$-2f \leq I \leq 0.$$
Dado que $-2<-2f<0$, queremos $-2 < I \leq 0$. Los únicos enteros en este rango son $I=-1,0$. Así que $x=-1+f$ o $x=f$, es decir, $\color{red}{x \in (-1,1)}$ es otra solución. Observe que la solución entera $x=0$ ya está incluida aquí. Entonces $\color{blue}{x \in (-1,1)}$ es el conjunto de solución para esta desigualdad.
