Nilradical de polinomio anillo

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. El nilradical $\text{nil}(R)$ es el conjunto de todos los nilpotent elementos, y es la intersección de todos los primeros ideales de $R$. Es la siguiente verdad en el polinomio anillo? $$\text{nil}(R[X])=(\text{nil}(R))[X]$$

Cualquier polinomio en el lado derecho tiene todos sus coeficientes de nilpotent en $R$, por lo tanto, también en $R[X]$, y por lo tanto es nilpotent en $R[X]$ como la suma de nilpotent elementos. El otro inclusión no está claro para mí. Hay un contraejemplo?

Answer 1

No, no hay ningún contraejemplo; siempre tenemos $\mathrm{nil}(R[x])=\mathrm{nil}(R)[x]$. Esto se da como ejercicio $2.$(ii) en el capítulo 1 de Atiyah-Macdonald:

Para demostrar la inclusión usted se está preguntando acerca de, usted puede proceder por inducción sobre el grado de la nilpotent polinomio:

Si $p\in \mathrm{nil}(R[x])$ es de grado 0, $p=a_0$ algunos $a_0\in R$, y claramente $a_0\in\mathrm{nil}(R)$, por lo que la demanda es cierto para polinomios de grado 0. Supongamos que la afirmación es verdadera para $p\in\mathrm{nil}(R[x])$ grado $\leq n.$

Deje $p=a_0+\cdots+a_{n+1}x^{n+1}\in\mathrm{nil}(R[x])$ ser de grado $n+1$, dicen que con $p^m=0$. Para cualquier $r$, el coeficiente inicial de $p^r$ siempre $a_{n+1}^r$; desde $p^m=0$, debemos tener $a_{n+1}^m=0$, por lo que el $a_{n+1}$ es nilpotent, y, por tanto, $a_{n+1}x^{n+1}$ es nilpotent. Desde $\mathrm{nil}(R[x])$ es un ideal, tenemos que $p-a_{n+1}x^{n+1}\in\mathrm{nil}(R[x])$, que es de grado $\leq n$, y por lo tanto la hipótesis inductiva implica que todos sus coeficientes son nilpotent. Por lo tanto, todos los coeficientes de $p$ son nilpotent, y por inducción, hemos terminado.

Answer 2

Aquí es una manera de ver $\mathrm{nil}(R[X])\subseteq\mathrm{nil}(R)[x]$ sin mucho cálculo:

Supongamos que $f\in R[X]$ es nilpotent. Por cada primer ideal $\mathfrak{p}$ $R$ canónica anillo homomorphism $R\to R/\mathfrak{p}$ induce un anillo homomorphism $R[X]\to (R/\mathfrak{p})[X]$ que sólo reduce los coeficientes de mod $\mathfrak{p}$.

Ahora la imagen de $f$ bajo este mapa también es nilpotent. Pero un nilpotent polinomio sobre la integral de dominio $R/\mathfrak{p}$ debe ser cero. Por lo tanto, todos los coeficientes de $f$ mentira en $\mathfrak{p}$.