Derivación de la Ecuación 1.13 de Jayne

Question

Estimados miembros de Stack Exchange,

Estoy leyendo 'Teoría de la Probabilidad - La Lógica de la Ciencia" de ET Jaynes, y estoy en la pág. 11.

Jayne dice: *"...Por ejemplo, vamos a necesitar en seguida un teorema bastante elemental

si B'= AD entonces AB'=B' y BA'=A'*

..."

No estoy seguro de lo que quiere decir con esto. ¿Qué es D? ¿Qué está diciendo esta ecuación? ¿Cómo la obtengo?

Lo intenté en excel y no logro que la última columna sea todo verdadero.

A   B       D   B'=AD   AB'=B'  BA'=A'  Y y F E = F
0   0       0   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE
1   0       0   FALSE   TRUE    FALSE   FALSE   TRUE
0   1       0   TRUE    TRUE    FALSE   FALSE   FALSE
1   1       0   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
0   0       1   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE
1   0       1   TRUE    TRUE    FALSE   FALSE   FALSE
0   1       1   TRUE    TRUE    FALSE   FALSE   FALSE
1   1       1   FALSE   TRUE    TRUE    TRUE    FALSE

El código para las columnas es el siguiente:

B'=AD - > =NOT(B2)=AND(A2,D2)

AB'=B' -> AND(A2,NOT(B2))=NOT(B2)

BA'=A' -> BA'=A'

Y y F -> FALSE

\=H2=E2 -> H2=E2

NB: Puse la columna C en blanco solo para ser más claro con mi notación.

Agradecería cualquier comentario que alguien pueda proporcionar.

EDIT: nueva tabla:

A   B       D   B'=AD   AB'=B'  BA'=A'  Y y F E=F
0   0       0   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE
1   0       0   FALSE   TRUE    TRUE    TRUE    FALSE
0   1       0   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
1   1       0   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
0   0       1   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE
1   0       1   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
0   1       1   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
1   1       1   FALSE   TRUE    TRUE    TRUE    FALSE

¿Notaste las filas donde B' =AD es verdadero?

¿Ves cómo AB'=B' y BA'=A' también son verdaderos en esas filas?

Creo que lo que Jayne quiere decir es

si B'= AD ES VERDADERO entonces IMPLICA QUE AB'=B' ES VERDADERO y BA'=A' ES VERDADERO*

Es decir, implicación material. Intentémoslo.

A   B       D   B'=AD   AB'=B'  BA'=A'  Y y F E=F      E->F
0   0       0   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE    TRUE
1   0       0   FALSE   TRUE    TRUE    TRUE    FALSE   TRUE
0   1       0   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
1   1       0   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
0   0       1   FALSE   FALSE   FALSE   FALSE   TRUE    TRUE
1   0       1   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
0   1       1   TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE    TRUE
1   1       1   FALSE   TRUE    TRUE    TRUE    FALSE   TRUE

¡Yay, funciona! Por lo tanto, asumo que Jayne significa implica.

Answer 1

Presumiblemente $A$, $B$, $D$ son variables lógicas, la multiplicación es "y", y prima es "no". Por lo tanto $B' = AD$ significa "no-B es equivalente a (A y D)". Y luego $AB' = A(AD) = AD = B'$. Dado que $B'$ implica $A$, $A'$ implica $B$ lo que significa que $BA' = A'.

EDITAR: En tu tabla de verdad, $BA'=A'$ debería ser verdadero en todos los casos excepto $A=0, B=0$, al igual que $AB'=B'.

Answer 2

Para tener un poco más de intuición/fondo sobre

$$\overline{B} = AD \implies A\overline{B} = \overline{B} \text{ y } B\overline{A} = \overline{A}$$

La parte "si" de la afirmación establece una cierta relación entre $A$ y $B$, que incluye una tercera afirmación no relacionada $D$. Más tarde, Jaynes utiliza este resultado al derivar la regla de la suma.

Mi intuición es que el $D$ está ahí para proporcionar justo lo suficiente de una relación entre $A$ y $B, para que una prueba sea posible, al mismo tiempo que es lo suficientemente flexible para permitir que el resultado sea general.

En lugar de construir tablas de verdad, también puedes verificar estos con lógica booleana simple:

$$A\overline{B} = A \land AD = AD = \overline{B}$$

$$B\overline{A}= \overline{AD}\land\overline{A} = (\overline{A}+\overline{D})\overline{A} = \overline{A} + \overline{A}\land\overline{D} = \overline{A}(1+\overline{D}) = \overline{A}$$