Comprendiendo la imagen inversa en topología

Question

El ejercicio que estaba leyendo consistía en encontrar la compactificación de un punto de $(0, 1)$. La solución me convenció de que era $S^1$

El problema es el siguiente: Parece intuitivo que $f^{-1}(V)$ es el conjunto $Y-[\epsilon,1-\epsilon]$ donde $Y$ es el conjunto de compactificación de un punto. ¿Pero cómo demostrarlo rigurosamente? ¿Podrías explicar todos los detalles por favor?

Answer 1

Tenemos $$f^{-1}(V) = Y \setminus (Y \setminus f^{-1}(V)) = Y \setminus (f^{-1}(S^1) \setminus f^{-1}(V)) = Y \setminus (f^{-1}(S^1 \setminus V)) .$$ Por lo tanto, es suficiente mostrar que $f^{-1}(S^1 \setminus V) = [\epsilon,1-\epsilon]$. Claramente $(1,0) \notin S^1 \setminus V$, entonces $f^{-1}(S^1 \setminus V)$ es un subconjunto de $(0,1)$. Más precisamente
$$f^{-1}(S^1 \setminus V) = \{ t \in (0,1) \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \in S^1 \setminus V \} = \{ t \in (0,1) \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \notin V \} .$$

1. Para $t \in (0,\epsilon)$ tenemos $(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \in V$.

2. Para $t \in (1-\epsilon,1)$ tenemos $t-1 \in (-\epsilon,0)$, entonces $2\pi t = 2\pi (t-1) + 2\pi$ y por lo tanto $(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) = (\cos(2\pi (t-1)),\sin(2\pi (t-1))) \in V$.

3. Para $t \in [\epsilon,1-\epsilon]$ tenemos $(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \notin V$. De lo contrario, $$(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) = (\cos(2\pi s),\sin(2\pi s)) \tag{*}$$ para algún $s \in (-\epsilon,\epsilon)$. Pero (*) implica que $2\pi t$ y $2\pi s$ difieren por un múltiplo entero de $2\pi$ lo cual es imposible para $t \in [\epsilon,1-\epsilon]$ y $s \in (-\epsilon,\epsilon)$.