¿Cómo se demuestra la siguiente declaración sobre la cardinalidad en teoría de conjuntos?

Question

Sea $f: \mathcal P ( \mathbb N ) \to \mathcal P ( \mathbb N )$ cualquier función. Entonces o la imagen de $f$, $Im(f)$, es incontable o existe un $A \in \mathcal P ( \mathbb N )$ tal que $f^{1} (\{A\})$ es incontable (o ambas).

Mi idea sería suponer que la imagen es contable y luego demostrar que existe un $A \in \mathcal P ( \mathbb N )$ tal que $f^{1} (\{A\})$ es incontable. Lo que no entiendo es que si $Im(f)$ es contable, entonces $Im(f) \neq \mathcal P ( \mathbb N )$, por lo tanto $f$ no es una biyección y el inverso no debería existir. Pero para demostrar lo anterior, el inverso necesita existir. ¿Dónde está el error en mi razonamiento? ¿Cómo puedo demostrarlo (la afirmación anterior, no el error en mi razonamiento)?

Answer 1

Supongamos que $Im(f)$ es numerable. Así

$$\mathcal P(\mathbb N ) = \bigcup_{A \in Im(f)} f^{-1}[\{A\}],$$

si todos los $f^{-1}[\{A\}]$ fueran numerables, también lo sería $\mathcal P(\mathbb N )$ ya que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable. Pero eso contradice el hecho de que $\mathcal P(\mathbb N )$ no es numerable (tiene la potencia del continuo).