Caracterizando sub-álgebras

Question

Sea $B$ un álgebra booleana y $A$ y $A^{'}$ dos sub-álgebras. ¿Es cierto que el sub-álgebra generado por $A \cup A^{'}$ dentro de $B$ es el mismo que el álgebra $C=\{ (a_{1}\wedge b_{1}) \vee \dots \vee (a_{k} \wedge b_{k})| a_{1},\dots, a_{k} \in A, b_{1},\dots, b_{k} \in A^{'}$ y $k \in \mathbb{N}\}$? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrar tal afirmación?

Answer 1

Sí. La subálgebra generada por $A\cup A'$ consiste en todos los términos en el lenguaje $\{\land,\lor,\lnot,\top,\bot\}$ de álgebras booleanas, evaluados en elementos de $A\cup A'$. Por la forma normal disyuntiva, cualquier término de este tipo es equivalente a una disyunción de conjunciones de elementos y sus negaciones.

Podemos simplificar cualquier conjunción de este tipo (como $c_1\land \lnot c_2\land \lnot c_3\land c_4$, por ejemplo) a una de la forma $a\land b$ con $a\in A$ y $b\in A'$, reemplazando todos los términos en $A$ por su conjunción (o $\top$ si no hay ninguno) y de manera similar para $A'$. Así que nos queda una disyunción de la forma indicada en la pregunta.