Solución particular de una relación de recurrencia no homogénea

Question

¿Alguien puede ayudarme con mi tarea, por favor? Tengo que resolver esto:

$a_{n}$ = $-a_{n-1}$ + $12a_{n-2}$ - 10n + 13 + $7.3^{n}$

$a_{0} = 3$, $a_{1}=24$.

Sé cómo resolver esto (ecuación homogénea): $a_{n}$ = $-a_{n-1}$ + $12a_{n-2}$

$a_{n}$ = $x^{n}$

$x^{n}$ = -$x^{n-1}$ + $12.x^{n-2}$

$x^{n}$ + $x^{n-1}$ - $12.x^{n-2}$ = 0

(x + 4)(x - 3) = 0

$t_n$ = $(-4)^{n}.\alpha$ + $3^{n} \beta$

¿Cómo puedo encontrar una solución particular? ....usando A,B,C... porque no sé cómo resolver esto con suma (Encontré algo con sumatoria aquí, pero no la usamos en el curso).

Gracias a todos por su ayuda :)

Answer 1

Tienes:

$$a_n = -a_{n-1} + 12a_{n-2} - 10n + 13 + 7\cdot 3^n$$

$$a_{n+1} = -a_{n} + 12a_{n-1} - 10(n+1) + 13 + 7\cdot 3^{n+1}$$

Restando la primera de la segunda ecuación obtienes:

$$a_{n+1} = 13a_{n-1} - 12a_{n-2} - 10 + 14 \cdot 3^n$$

Repite el mismo truco para deshacerte de la constante y obtendrás:

$$a_{n+2} = a_{n+1} + 13a_n - 25a_{n-1} + 12a_{n-2} + 28\cdot 3^n$$

Ahora resta tres veces la ecuación anterior de:

$$a_{n+3} = a_{n+2} + 13a_{n+1} - 25a_{n} + 12a_{n-1} + 28\cdot 3^{n+1}$$

Obtendrás una relación de recurrencia lineal homogénea

Answer 2

Gracias por tu respuesta. Entiendo todos tus pasos, pero ¿cuánto tiempo debo hacer estos pasos? No entiendo. :(

Intenté usar "nuestro" método .... pero no tiene solución y no sé qué debo hacer con $7.3^n$.

Esta es mi solución: $t_n$ = $(-4)^{n}.\alpha$ + $3^{n} \beta$

$a_{n}$ = $t_{n}$ + $u_{n}$

$u_{n}$ =$s^{n}$ . $n^{m}.Q(n)$

$u_{n}$ =$-4$ . $n^{1}.(An + B)$

$-4$ . $n^{1}.(An + B)$ = $(n-1)^1(A(n-1)+B) + (n-2)^1(A(n-2)+B) -10n + 13 + 7.3^n$ =

$(n-1)(An-A+B) + (n-2)(An-2A+B)-10n+13+7.3^n$ =

$(An^2-An+Bn-An+A-B) + (An^2 - 2An + Bn -2An+4A-2B)-10n + 13 + 7.3^n $

\= $2An^2 - 6An + 5A + 2Bn - 3B - 10n + 13 + 7.3^n$

$n^2: -4A = 2A$ ?????

$n^1: -4B = -6A+2B-10$

$n^0: 0 = 5A - 3B +13$

Muchas gracias.

Answer 3

Con problemas como este, me gusta reducirlo a una forma estándar, digamos $f_n=af_{n-1}+bf_{n-2}$. Hay muchos tipos diferentes de términos aquí, por lo que esto requerirá una serie de transformaciones. Entonces tomemos una expresión general como

$$T_n=AT_{n-1}+BT_{n-2}+Cn+D+EF^n$$

En una serie de tres transformaciones podemos obtener la ecuación deseada para $f$, así que

$$ \begin{align} &1.\quad T_n=S_n+pn+q\\ &2.\quad S_n=F^nR_n\\ &3.\quad R_n=f_n+r \end{align} $$

En la primera transformación eliminaremos los términos $Cn+D$. En la segunda, extraeremos el $F^n$, pero aún tendremos una constante, que eliminaremos con la tercera transformación.

Aquí el álgebra es simple, así que solo daré los resultados. De la primera transformación,

$$ S_n=AS_{n-1}+BS_{n-2}+EF^n\\ p=-\frac{C}{A+B-1}\\ q=\frac{p(A+2B)-D}{A+B-1}\\ $$

De la segunda transformación,

$$ R_n=\frac{A}{F}R_{n-1}+\frac{B}{F^2}R_{n-1}+E\\ $$

Y de la tercera transformación,

$$ f_n=\frac{A}{F}f_{n-1}+\frac{B}{F^2}f_{n-1}\\ r=-\frac{E}{A/F+B/F^2-1} $$

Luego debemos considerar las condiciones iniciales para $f$. Comenzando con $T_0,T_1$, tenemos

$$ S_0=T_0-q\\ S_1=T_1-p-q\\ $$

$$ R_0=S_0=T_0-q\\ R_1=S_1/F=(T_1-p-q)/F\\ $$

$$ f_0=R_0-r=T_0-q-r\\ f_1=R_1-r=(T_1-p-q)/F-r $$

Luego podemos deducir la solución para $T_n$ de la siguiente manera

$$ R_n=f_n+r\\ S_n=F^nR_n\\ T_n=S_n+pn+q $$

He verificado estos resultados numéricamente para valores aleatorios positivos y negativos de $A,B,C,D,E,F,T_0,T_1$.