Sea $M \subset \Bbb R^3$ una superficie regular, y ${\bf p} \in M$. Sean ${\bf x} : U \subset \Bbb R^2 \to M$ y $\overline{{\bf x}}:\overline{U} \subset \Bbb R^2 \to M$ parametrizaciones en ${\bf p}$. Aquí $U, \overline{U}$ son abiertos (y $\overline{U}$ no tiene relación con el cierre de $U$, es solo una notación para guiarme aquí, cuantas menos letras, mejor). Si $W = {\bf x}(U) \cap \overline{{\bf x}}(\overline{U}) \ni {\bf p}$, entonces ${\bf x}^{-1}\circ \overline{{\bf x}}:\overline{{\bf x}}^{-1}(W) \to {\bf x}^{-1}(W)$ es diferenciable.
Quiero demostrar esta última afirmación. Aquí está mi trabajo:
Llamemos ${\bf x}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ y $\overline{{\bf x}}(\overline{u},\overline{v}) = (x(\overline{u},\bar{v}),y(\bar{u},\bar{v}),z(\bar{u},\bar{v}))$. Fijemos $(\bar{u}_0,\bar{v}_0) \in \overline{{\bf x}}^{-1}(W)$, y escribamos $(u_0,v_0) = {\bf x}^{-1}\circ \overline{{\bf x}}(\bar{u}_0,\bar{v}_0)$.
Dado que ${\bf x}$ es regular, supongamos sin pérdida de generalidad que: $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}(u_0,v_0) \neq 0.$$ Consideremos $\varphi: {\bf x}^{-1}(W) \subset \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ dada por $\varphi(u,v) = (x(u,v),y(u,v))$. Entonces: $$\det({\rm d}\varphi_{(u_0,v_0)}) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}(u_0,v_0) \neq 0,$$ y por el teorema de la función inversa, existe $V \subset {\bf x}^{-1}(W)$ abierto que contiene a $(u_0,v_0)$, tal que $\varphi^{-1}: \varphi(V) \to V$ existe y es diferenciable. Podemos escribir: $$\varphi^{-1}(x,y) = (u(x,y),v(x,y)).
Sea $\pi: \Bbb R^3 \to \Bbb R^2$ la proyección en las dos primeras componentes. Es diferenciable. Por lo tanto:
$$\begin{align*} \varphi^{-1} \circ \pi \circ \overline{{\bf x}}(\bar{u},\bar{v}) &= \varphi^{-1}\circ \pi ((x(\overline{u},\bar{v}),y(\bar{u},\bar{v}),z(\bar{u},\bar{v}))) \\ \varphi^{-1} \circ \pi \circ \overline{{\bf x}}(\bar{u},\bar{v}) &= \varphi^{-1} ((x(\overline{u},\bar{v}),y(\bar{u},\bar{v})) \\ \varphi^{-1} \circ \pi \circ \overline{{\bf x}}(\bar{u},\bar{v}) &= (u(x(\overline{u},\bar{v}),y(\bar{u},\bar{v})),v(x(\overline{u},\bar{v}),y(\bar{u},\bar{v}))) \\ \varphi^{-1} \circ \pi \circ \overline{{\bf x}}(\bar{u},\bar{v}) &= {\bf x}^{-1}\circ \overline{\bf x}(\bar{u},\bar{v}) \end{align*} $$
De esta manera, $\varphi^{-1} \circ \pi \circ \overline{{\bf x}}= {\bf x}^{-1}\circ \overline{\bf x}$, y el resultado sigue porque el cambio de parámetros es una composición de funciones diferenciables. Por lo tanto, es diferenciable en un entorno de $(\bar{u}_0,\bar{v}_0)$. Pero incluso este punto era arbitrario.
No suelo utilizar los teoremas de la función inversa y de la función implícita, así que agradezco cualquier comentario que tengan. Por favor, revisen si hay algo mal en mi demostración. Este es el problema principal. Si no hay nada mal, también agradezco pruebas más fáciles y alternativas. Sé que podría simplemente abrir algunos libros y buscar, pero creo que es más instructivo ver comentarios y observaciones de la gente aquí (y podría ser útil para cualquiera que lea esto, también).
¡Gracias!
