¿Un módulo finitamente generado tiene una cantidad finita de sumandos directos, hasta el isomorfismo?

Question

Se puede ver fácilmente que todo grupo abeliano finitamente generado tiene un número finito de sumandos directos hasta isomorfismo.

Ahora, supongamos que $R$ es un anillo y $M$ es un módulo $R$ finitamente generado.

¿Tiene $M$ un número finito de sumandos directos no triviales, hasta isomorfismo?

Answer 1

Sea $R$ un dominio de Dedekind con un grupo de clases infinito. Si $I$ es un ideal no nulo de $R$, entonces $R^2\cong I\oplus I^{-1}$ como $R$-módulos, donde $I^{-1}$ es el ideal fraccional inverso a $I$. Como $R$-módulos, $I\cong J$ si y solo si $I$ y $J$ están en las mismas clases de ideales. Por lo tanto, hay infinitos sumandos directos en $R^2$ que no son isomórficos como módulos.