Demuestra que si un grupo finito $G$ es soluble y tiene más de un $17$-subgrupo de Sylow, entonces tiene más de $100$ subgrupos de Sylow de $17$.

Question

Demuestra que si un grupo finito $G$ es soluble y tiene más de un subgrupo de $17$-Sylow, entonces tiene más de $100$ subgrupos de $17$-Sylow.

Mi principal motivo para preguntar: ¿La gente encuentra esto fácil o difícil?

Hay un teorema algo oscuro que proporciona una prueba en una sola oración, pero no estoy seguro de si hay una manera fácil sin usar ese teorema.

Estaría interesado en una demostración elemental, si la hay.

NUEVO: De hecho, acabo de pensar en una prueba no demasiado difícil que no usa ese teorema, pero sí utiliza series principales. Así que supongo que mi pregunta se reduce a si hay alguna forma razonable de demostrar esto sin usar series principales.

Answer 1

Sea $G$ un contraejemplo de menor orden, sea $P \in {\rm Syl}_{17}(G)$, y sea $N$ un subgrupo normal minimal de $G$.

Entonces, dado que $G$ es soluble, $N$ es abeliano y, dado que sus subgrupos de Sylow son normales en $G$, $N$ debe ser un grupo de $p$ para algún primo $p$, y entonces $|N| = p^k$ para algún $k>0$.

Si $G/N$ tiene más de $100$ subgrupos de Sylow de $17$ entonces también los tiene $G$ por lo que, dado que $G$ es un contraejemplo mínimo, $G/N$ tiene un único subgrupo de Sylow de $17$. Así que $PN/N \unlhd G/N$ y por lo tanto $PN \unlhd G$.

Ahora $P$ no puede ser el único subgrupo de Sylow de $17$ de $PN$ o de lo contrario sería normal en $G$, y el número de subgrupos de Sylow de $p$ de $PN$ debe dividir a $p^k$ y ser igual a $1 \bmod 17$

El menor número que satisface esas condiciones es $103$.