¿En esta generalización común de redes y filtros ha escrito hacia abajo?

Question

Es bien sabido que hay dos maneras diferentes para generalizar la teoría de la convergencia de secuencias arbitrarias espacios topológicos: redes y filtros. Ellos son, por supuesto, esencialmente equivalentes, pero cada uno tiene su propio menores ventajas para la pedagogía y la intuición. Aparentemente, menos conocido, es el siguiente comunes generalización de ambas redes y filtros:

Deje $X$ ser un espacio topológico. A continuación, un filternet (este es un término que me he inventado) en $X$ se compone de un conjunto de $I$, un filtro de $F$$I$, y un mapa de la $I\to X$ (escrito $i\mapsto x_i$). Podemos decir $(x_i)$ converge a un punto de $x\in X$ si para cada vecindario $U$ de $x$, $\{i\in I:x_i\in U\}\in F$.

Si $I$ es dirigido conjunto, entonces podemos tomar $F$ a ser el "eventual" filtro en $I$, y, a continuación, $(x_i)$ converge a $x$ como filternet iff converge a $x$ neto. Por otro lado, si $F$ es un filtro en $X$, podemos tomar $I=X$ $x_i=i$ todos los $i$, e $(x_i)$ converge a $x$ si el filtro de $F$ converge a $x$. Así filternets incluir los filtros y redes como casos especiales. Como los filtros y redes, filternets puede ser utilizado para describir básicas nociones topológicas (conjuntos cerrados, continuidad, compacidad, etc.) en términos de convergencia. Pedagógicamente, filternets tienen algunas de las ventajas de ambos filtros y redes: como redes, que son intuitivamente similar a las secuencias (tienen un conjunto de índices, y es obvio cómo les empuje hacia adelante a lo largo de los mapas), y al igual que con los filtros, la teoría de la "subfilternets" y "ultrafilternets" es muy simple y no requiere que usted cambie el conjunto de índices.

Mientras que las redes y los filtros están muy bien representados en la literatura, filternets no son tan comunes. La principal forma en que los he visto usada, es hablar acerca de los límites de las secuencias con respecto a un ultrafilter en $\mathbb{N}$, generalmente en el contexto de hablar de ultraproducts de métrica espacios e ideas afines (ver esta página de la Wikipedia, por ejemplo). Pero esto es bastante diferente de pensar en ellos como proporcionar una teoría general de la convergencia como las redes y los filtros, y de hecho nunca he visto filternets utilizado en esta forma en general en cualquier trabajo publicado (he aprendido acerca de ellos, como una teoría general de la convergencia de Nik Weaver, que sólo ellos llaman "redes", en mi pregrado pointset topología de la clase). Entonces, mi pregunta es:

Donde han "filternets" se ha escrito sobre (como una teoría general de la convergencia en espacios topológicos)? Hay un nombre estándar para ellos? El primero que inventó? ¿Hay algún tipo de estándar de referencia que los cubre (por ejemplo, un pointset topología de libros de texto que los utiliza, o algunos conocidos expositiva papel que les discute junto con filtros y redes)?

Answer 1

La mayor tratamiento que he visto es que en algunas notas por nuestro propio Martin Sleziak; su sitio está aquí, y las notas en cuestión están aquí [PDF]. Él lo llama simplemente $\mathscr{F}$-convergencia y dice que los únicos libros que él conoce, la que desarrollar la convergencia de su utilización son:

• N. Bourbaki. Elementos de Matemáticas. Topología General. Los capítulos I-IV. Springer-Verlag, Berlín, 1989.
• Jacques Dixmier. Topología General. Springer-Verlag, Nueva York, 1984. Licenciatura Textos en Matemáticas.

Tengo el Bourbaki. La definición pertinente es la Definición $3$ en la Sección $I.7.3$:

Deje $f$ ser un mapeo de un conjunto $X$ a de un espacio topológico $Y$, y deje $\mathfrak{F}$ ser un filtro en $X$. Un punto de $y\in Y$ se dice que es un punto límite (o simplemente un límite) (resp. clúster de punto) de $f$ con respecto al filtro de $\mathfrak{F}$ si $y$ es un punto límite (resp. clúster de punto) de la base del filtro de $f(\mathfrak{F})$.

Th relación "$y$ es un límite de $f$ con respecto al filtro de $\mathfrak{F}$ " $\lim_{\mathfrak{F}}f=y$ o $\lim\limits_{x,\mathfrak{F}}f(x)=y$ o $\lim\limits_xf(x)=y$ si no hay riesgo de confusión.

Añadido: Martin señala que más de la información y las referencias que se pueden encontrar en esta respuesta y esta conversación en el chat.

Answer 2

No puedo decir que fue la primera, pero puedo decir que fue (en este momento, al menos) último: me. Menos de 24 horas, Misha Kapovich me envió una versión modificada de su sorprendente resultado de que para la conexión de un $\mathbb{C}$-colector $M$, el anillo de $\operatorname{Hol}(M)$ de holomorphic funciones en $M$ consiste en la constante de funciones o la infinita dimensión de Krull. Su idea de la reparación de un defecto en el argumento de alguien más, fue el uso de ultralimits. Esto era algo que yo había visto antes, pero tenía que volver a buscar la definición. Por otra parte, desde que se me fue la redacción de una prueba de Kapovich del Teorema para la siguiente iteración de) mi álgebra conmutativa notas, me tenía que decir algo acerca de ultralimits. Aquí es lo que yo digo a introducir, copiado y pegado directamente: $\newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}$

Deje $I$ ser un conjunto, vamos a $X$ ser un espacio topológico, y deje $x_{\bullet}: I \ra X$ $I$- indexado de la secuencia, es decir, una función! Deje $\mathcal{F}$ ser un ultrafilter en $I$. Podemos decir $x \in X$ es un ultralimit de $x_{\bullet}$ y escribir $\mathcal{F}\lim x_{\bullet} = x$ si $x_{\bullet}(\mathcal{F}) \ra x$: es decir, para cada vecindario $U$$x \in X$,$x_{\bullet}^{-1}(U) \in \mathcal{F}$. A partir de la teoría general de filtro de convergencia, se desprende lo siguiente: (i) Si $X$ es Hausdorff, entonces cada $I$-indexada secuencia $x_{\bullet}: I \ra X$ tiene más de uno ultralimit. (ii) Si $X$ es cuasi-compacto, entonces cada $I$-indexada secuencia tiene al menos un ultralimit. Así, (iii) Si $X$ es compacto, entonces cada $I$-indexado de la secuencia tiene un único ultralimit. En nuestra aplicación, vamos a tener $I = \N$, $\omega$ un fijo nonprincipal ultrafilter y $X = [0,\infty]$. Así tenemos una ordinaria secuencia $\{x_n\}$$[0,\infty]$, e $\omega \lim x_n = x$ significa que: para todos los $\epsilon > 0$, el conjunto de $n \in \N$ tal que $|x_n-x| < \epsilon$ se encuentra en $\omega$. Debido a $[0,\infty]$ es compacto, cualquier secuencia en la $[0,\infty]$ tiene un único ultralimit.

Así que ahí lo tienen "ultrafilternets"...escrito sobre la marcha. OK, algunos comentarios:

(i) En la aplicación que viene a continuación, que "arreglar" un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{Z}^+$, y el hecho de que $\omega$ debe contener la Frechet filtro -- es decir, todos los cofinite conjuntos -- es ciertamente importante. El hecho de que un "Frechet límite de filtro" es sólo una costumbre secuencial límite debe ser un estándar de observación entre los que trabajan con ultralimits. Me gusta mucho la observación de que en cualquier dirigida set $(I,\leq)$ el "principal molesta" $U(i_0) = \{i \in I \mid i \geq i_0\}$ forma la base para un filtro en el que juega el análogo de la Frechet filtro y que impulsando esta "$I$-Frechet filtro" le $I$-convergencia!

(ii) creo que puede haber algo de prioridad para su filternets que viene de el hecho de que los filtros pueden ser definidos con respecto a cualquier conjunto parcialmente ordenado $(I,\leq)$, es decir, un subconjunto no vacío $\mathcal{F}$ $I$ que es hacia arriba-cerrado y hacia abajo indicado: ver wikipedia para más detalles. Un director de filtro es sólo un malestar $U(i_0)$ algunos $i_0 \in I$. Por otra parte $I$ es dirigido iff la familia $\{U(i_0) \mid i_0 \in I\}$ es una base del filtro en $2^I$, caso en el cual es la base para la $I$-Frechet filtro descrito anteriormente. Hmm...yo no llegar a un desenlace dramático, pero parece que podría ser algo que está pasando aquí.

(iii) creo que una razón por la que su filternets no son más comúnmente conocido es un familiar, estúpido: la mayoría de la norma general de la topología de textos discutir los filtros o redes; algunos dan molesto superficial ejercicios en el que no cubierta. Yo no conozco a ninguna de texto estándar que hace concertada uso de filtros y redes de juntos.

Y por último, dos preguntas.

(A) Otros que la generalización de los filtros, redes y ultralimits, ¿ usted tiene una buena aplicación de su filternets?

(B) hay también netfilters? (No estoy seguro de si lo digo en serio. Pero su construcción es una manera de construir redes fielmente dentro del marco de filtro junto con otras cosas además. O tal vez netfilters son solo redes: una red de uno puede asociar su base del filtro de colas, y un filtro de base se puede asociar un determinado neto; que va desde el filtro de bases para redes de filtro bases se recupera de la base del filtro cuando empezamos, pero pasar de mallas para filtros de vuelta a las redes no y no podría, por razones de cardinalidad. Hmm...)