Las álgebras de Von Neumann son álgebras $C^*$

Question

Una álgebra de von Neumann se define como un *-álgebra que está cerrada con respecto a la topología de operador fuerte y un álgebra *-$C^*$ como un *-álgebra con la propiedad $||A||^2=||A^*A||$.

Se dijo que cada álgebra de von Neumann es un álgebra *-$C^*$. Intenté demostrar que cada álgebra de von Neumann cumple con la propiedad *-$C^*$. No puedo avanzar más y no sé cómo usar que el álgebra de von Neumann está cerrada. ¿Tiene algún consejo?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Un álgebra de von Neumann $M$ vive en algún $B(H)$. La relación C$^*$ $$\|T\|^2=\|T^*T\|$$ se cumple en $B(H)$. Así que todo lo que necesitas comprobar es que $M$ está cerrado respecto a la norma; y esto viene gratis ya que $M$ está cerrado en una topología más débil que la topología de la norma.