Demostrando que $0 \rightarrow \Bbb Z \rightarrow \Bbb Q \rightarrow \Bbb Q / \Bbb Z \rightarrow 0$ no se divide.

Question

¿Puedo demostrar que la secuencia exacta de módulos $\Bbb Z$ - $0 \rightarrow \Bbb Z \rightarrow \Bbb Q \rightarrow \Bbb Q / \Bbb Z \rightarrow 0$ no es exacta mediante la demostración de que $\Bbb{Z} \bigoplus \Bbb{Q} / \Bbb{Z}$ no es isomorfo a $\Bbb{Q}$? La manera en que pruebo esto es dándome cuenta que en $\Bbb{Z} \bigoplus \Bbb{Q} / \Bbb{Z}$, existen elementos de orden $a$ en donde $a$ es el menor número natural que satisface $ar \in \Bbb Z$, donde $r \in \Bbb Q$ (por ejemplo, el orden de $(0, \frac{1}{2} + \Bbb Z)$ es $2$), mientras que el orden de los elementos de $\Bbb Q$ es o bien $1$ o $\infty$, demostrando que no son isomorfos entre sí. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Hay muchos criterios equivalentes que determinan cuándo se divide una secuencia. Creo que la definición más común es la existencia de un mapa de división — en este caso un mapa $f\colon \Bbb Q/\Bbb Z\to\Bbb Q$ tal que $g\circ f=\operatorname{Id}_{\Bbb Q/\Bbb Z}$, donde $g\colon \Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z$ es el mapa de cociente.

En este caso, para cualquier $x\in \Bbb Q/\Bbb Z$, sabemos que $nx=0$ para algún entero $n$. Entonces si $f$ es un mapa de módulo de $\Bbb Z$, entonces $nf(x)=f(nx)=0$. En $\Bbb Q$, esto significa que $f(x)=0$, entonces $f$ debe ser el mapa cero.

Como ya has notado, no obstante, la existencia de un mapa de división implica que $\Bbb Z\oplus \Bbb Q/\Bbb Z\cong\Bbb Q$, lo cual es absurdo ya que $\Bbb Q$ es libre de torsión. Puedes ver cómo ambas demostraciones capturan la misma idea.