¡Hola! Me gustaría saber si hay una clasificación explícita de los subgrupos algebraicos (es decir, cerrados de Zariski) del grupo simpléctico Sp(4,R) y/o más generalmente Sp(2n,R) en alguna parte de la literatura.
Respuestas
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Por un lado, no pude encontrar una respuesta publicada con una búsqueda rápida. Por otro lado, como dice Ben, podrías trabajar la respuesta "a mano". En lugar de escribir una lista pura, que podría ser complicada (y no he hecho el trabajo), escribiré los ingredientes principales.
Un subgrupo $H$ Zariski-cerrado de cualquier grupo de Lie semisimple conectado $G$ tiene tres partes: (1) finita, (2) semisimple conectada y (3) soluble conectada. La topología de Zariski fuerza a $H$ a tener solo un número finito de componentes; si $H_0$ es el subgrupo conectado, entonces $H/H_0$ es la parte finita. Luego, el álgebra de Lie de $H_0$ tiene una descomposición de Levi, por lo que obtienes las otras dos partes. La forma de analizar la pregunta es rastrear las posibilidades para las tres piezas.
Pienso que la parte finita siempre se eleva a un subgrupo finito ligeramente más grande de $H$. Esto no es cierto para los grupos en general, pero creo que es cierto en este contexto. Luego, este grupo finito está contenido en un grupo compacto maximal de $G. Afortunadamente, el núcleo compacto de $\text{Sp}(4,\mathbb{R})$ es $\text{SU}(2)$, y los subgrupos finitos están clasificados por diagramas de Dynkin simplemente entrelazados.
Un subgrupo semisimple y conectado de $G$ corresponde a una subálgebra de Lie semisimple, y eso se complejiza. El álgebra de Lie $\text{sp}(4,\mathbb{C})$ no tiene muchas subálgebras semisimples no equivalentes. Al observar el rango, son isomorfas a $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ o $\text{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \text{sl}(2,\mathbb{C})$. Me estoy confundiendo un poco con las posiciones posibles de la primera, aunque sé que hay solo algunas. La última se incrusta de una sola manera. Luego trabajarías hacia atrás para obtener las formas reales de estas subálgebras complejas; nuevamente, no habría muchas.
Finalmente, la parte soluble también se complejiza y creo que está contenida en una subálgebra de Borel a nivel de álgebra de Lie.
En cuanto a la pregunta más general, para $\text{Sp}(2n,\mathbb{R})$, hay una respuesta inversa ordenada que también te muestra que no puedes esperar una respuesta ordenada para todos los $n$ fijos. Es decir, si $G$ es un grupo algebraico, puedes clasificar sus representaciones anti-auto-duales (o auto-duales desde el punto de vista simpéctico). Cada grupo algebraico tendrá algunas, porque cada grupo algebraico tiene representaciones en $\text{GL}(n,\mathbb{R})$. Un caso más interesante es cuando $G$ tiene una representación irreducible simétricamente auto-dual. Para ese propósito, verificas que la representación irreducible es real, y luego verificas el indicador de Frobenius-Schur.
Lux555
Puntos
16
El artículo `On the subgroup description of classical groups' de Martin Liebeck y Gary Seitz (disponible en http://dx.doi.org/10.1007/s002220050270) proporciona una descripción estructural de los subgrupos cerrados de los grupos clásicos sobre un campo algebraicamente cerrado. Los subgrupos son o bien los estabilizadores de un subespacio, una descomposición de subespacios o una descomposición de productos tensoriales, o un grupo clásico, o módulo escalares es el normalizador de un grupo abeliano elemental $r$, o módulo escalares es casi simple. Generaliza el resultado de Aschbacher en el caso de campos finitos.
BS.
Puntos
7136
Los subgrupos máximos (conectados, creo) de los grupos clásicos complejos han sido clasificados por E.B. Dynkin a principios de los años 50. Aquí hay un enlace al MR del artículo ruso, traducido en Amer. Math. Soc. Transl., Serie 2, Vol. 6 (1957), 245-378 (que no está en MR). Luego T.M. Selim (encontrado en las citas del artículo de Dynkin) abordó el caso real (ver aquí), pero el resumen en MR tiene notaciones extrañas y no me queda claro qué se ha probado exactamente. El artículo de Liebeck y Seitz citado en la respuesta de Michael tiene MR aquí, pero el enlace al artículo en MR (dado en la respuesta de Michael) parece estar roto. Por cierto, está en Inventiones 134 (1998), no. 2, 427--453.
