Existencia de un simpletomorfismo que conserva subvariedades

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Sea $(M,\omega)$ una variedad simpléctica y sean $N_1$ y $N_2$ subvariedades de $M$ tales que existe un difeomorfismo $\psi:M \rightarrow M$ tal que $\psi(N_1) = N_2$. ¿Existe un simpléctomorfismo $\varphi:M \rightarrow M$ tal que $\varphi(N_1) = N_2$?

¿Alguien puede darme una pista? Realmente estoy luchando. ¡Gracias!

Answer 1

Como el ejemplo más simple que puedo pensar, toma un lazo en $S^2$. Hay un difeomorfismo que lleva cualquier par de lazos a otro; pero el área de los dos lados del lazo se conserva por un simplectomorfismo (porque los simplectomorfismos son en particular conservadores del volumen).

Más en línea con mi comentario anterior, considera $T^*M$ con la forma estándar. La sección cero es una subvariedad lagrangiana, y puedes verificar fácilmente que una sección (considerada como una 1-forma $\omega$) es lagrangiana si y solo si $\omega$ es cerrada. Pero todas las secciones son isotópicas de manera suave, por lo tanto, hay un difeomorfismo que lleva una a la otra.