Prueba por inducción: $4^{3n} +8$ divisible por $9$

Question

¿Alguien puede ayudarme? He intentado varias veces, pero no he encontrado una solución.

Answer 1

Es fácil ver que la ecuación es verdadera para $P(1)$

Supongamos que es verdadera para $P(n).$

$$ P(n)\implies 9|4^{3n}+8$$ $$ \implies 4^{3n} = 9\lambda - 8 $$ para algún valor de $\lambda.$

para $P(n+1)$, tenemos: $$P(n+1) = 4^{3(n+1)} + 8$$ $$ =4^{3n}.4^3 + 8 $$ $$ = 8(4^{3n}.8 + 1) $$ $$ =8(72\lambda - 64+1) $$ $$=9(64\lambda -56)$$ lo cual es claramente divisible por $9$.

Answer 2

Pista:

(1) Comienza con la base de inducción (aquí $n=0$): $4^{3\cdot 0} + 8 = 1+8 = 9$ que es divisible por $9$.

(2) En el paso de inducción, supongamos que $4^{3n}+8$ es divisible por $9$ para algún $n\geq 0$.

Demuestra que $4^{3(n+1)}+8$ es divisible por $9$ usando que $4^{3n}+8$ es divisible por $9$. Solo completa los detalles.

Answer 3

El caso base debe estar claro. Para el paso de inducción, escribe $4^{3(n+1)}+8$ en la forma

$$4^{3(n+1)}+8=(4^{3n}+8) \cdot 4^3+8(1-4^3)$$

y muestra que ambos sumandos en el RHS son divisibles por $9$.

Answer 4

Pista:

Si un término es $m=9n$, entonces el siguiente es $$4^3(9n-8)+8=64\cdot9n-56\cdot9.$$

Answer 5

La solución aquí puede volverse más clara si notas que

$4^{3n} = (4^3)^n = 64^n$

y

$9|m+8 \iff m \equiv 1 \mod 9$

Por lo tanto, se te pide que demuestres por inducción que

$64^n \equiv 1 \mod 9 \quad \forall n \in \mathbb{N}$