Estoy tratando de calcular la integral $$\int_{-\infty}^\infty \frac{x^{2n}}{(x^2 + 1)^{n + 1}}\ dx.$$ A partir de evidencia computacional, es muy obvio que $$\int_{-\infty}^\infty \frac{x^{2n}}{(x^2 + 1)^{n + 1}}\ dx = \frac{\pi}{4^n} {2n \choose n}.$$ De hecho, puedo demostrar esto a través de la función generadora de los coeficientes binomiales centrales.
Sin embargo, quiero demostrar esto a través de la integración de contorno. Con $f(z) = z^{2n} / (z^2 + 1)^{n + 1}$, podemos integrar sobre la semicircunferencia de radio $R$ en el semiplano superior. Llamemos a este contorno $\gamma_R$. La integral sobre el arco de $\gamma_R$ tiende a cero cuando $R \to \infty$, lo que nos deja con $$\int_{-\infty}^\infty \frac{x^{2n}}{(x^2 + 1)^{n + 1}}\ dx = 2\pi i \operatorname{res}_i f.$$ El residuo de $f$ en $i$ es $g^{(n)}(i) / n!$, donde $$g(z) = \frac{z^{2n}}{(z + i)^{n + 1}}.$$ Así, deberíamos tener $$g^{(n)}(i) = \frac{-i n! {2n \choose n}}{2^{2n + 1}}.$$
¿Cómo puedo demostrar que esta igualdad se cumple? O, más generalmente, ¿Cómo puedo calcular el residuo de $f$ en $i$?
Intenté usar la serie $$\frac{1}{(1 - z)^{n + 1}} = \sum_{k \geq 0} {k + n \choose k} z^k,$$ pero realmente no pude hacerlo funcionar.
Edición: Me pidieron que explique por qué mi evaluación es "obvia". Esto se debe a que utilicé un sistema algebraico computacional para evaluar directamente $g^{(n)}(i)$ para unas pocas docenas de $n$. Esto da algunas expresiones racionales que, al ser buscadas en el OEIS, sugieren la forma cerrada que he dado aquí. Entonces es un asunto trivial estimar la integral numéricamente y compararla para cientos de términos.
