Sea ${f_n}$ una sucesión uniformemente acotada de funciones medibles en $[0,1]$. Define $$F_n(x)=\int_0^x f_n(t)dt.$$ Entonces existe una subsucesión $\{F_{n_k}\}$ que converge uniformemente en $[0,1].
Intento: Sabemos que $|f_n| \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$ con $M$ la cota superior mínima. Así que $|F_n| \leq M(1-0)=M$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $x \in [0,1].$ Dado que $\{|F_n|\}$ es una sucesión acotada y cerrada de números reales, sabemos que hay una subsucesión que converge a $\limsup |F_n|$.
También sabemos que, dado $k \in \mathbb{N},$ hay un $j \in \mathbb{N}$ tal que $||F_{n_l}|-\limsup |F_n|| \leq \frac{1}{k}$ para todo $l \geq j$ debido a una propiedad de $\limsup.$ Pero esto dice exactamente que hay una subsucesión de $|F_n|$ que converge uniformemente en $[0,1].$ $\square$
Sé que esta respuesta está incompleta en gran medida (necesito mirar las funciones, y estoy asumiendo que estoy tomando toda la integral sobre $[0,1]$ en la prueba), pero me gustaría saber si el enfoque está insinuando algo y, independientemente, qué debo hacer desde aquí. ¡Gracias!
