Sé que es simplemente usando la Integral de Riemann. No sé cómo puedo mostrar la integral de ${x^2}$ sobre $[0,1]$ es igual a $\frac13$ usando la definición de la Integral de Lebesgue.
Respuesta
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En el caso de funciones continuas, se sabe que la integral de Riemann y la integral de Lebesgue sobre un intervalo finito son iguales. Sin embargo, si no quieres usar este resultado, entonces lo que puedes hacer es aproximar $f(x) = x^2$ en $[0,1]$ por debajo mediante una secuencia creciente de funciones simples $f_n(x)$, y luego calcular la integral de esas funciones simples simplemente sumando las áreas de los rectángulos correspondientes. Si eliges $f_n(x)$ de manera sistemática, entonces debería ser posible evaluar el límite $\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n(x)$, que es igual a $\int f(x)$ por el teorema de convergencia monótona.
