$a_n>0$ Tal que $\sum a_n $ converge, muestran que existen $c_n>0$ tal que $c_n\to \infty$ y $\sum a_n c_n$ son finito.

Question

Un problema de tesis Pre lims examen:

Que $ a_{n} > 0 $ % todo $ n\in\mathbb{N}$tal que $\sum a_{n} $ converge. Mostrar que existen $ c_{n} > 0 $ ($n\in\mathbb{N}$) tal que el $ \lim \limits_{n\to\infty} c_{n}= \infty $ y $\sum a_{n}c_{n} $ son finito.

Answer 1

Para cada número natural $k$, encontrar $N_k$ tal que $\sum_{n=N_k}^\infty a_n < 1/4^k$. (y asegúrese de que $N_1 < N_2 < \ldots$.) Luego ajuste $c_n = 2^k$ % todo $n$en el rango $N_k \leq n < N_{k+1}$. Encontrará la que $\sum_{n=N_k}^\infty c_n a_n < 1/2^{k-1}$ mediante el uso de serie geométrica.