Dos funciones iguales en un espacio topológico

Question

¿Puede alguien ayudarme por favor? Tengo que responder a este problema en topología:

"Sea $f$ y $g$ funciones continuas del espacio topológico $T$ a $\mathbb{R}$, con la topología usual. Demuestra que $\{ x \in T \:| \:f(x) = g(x) \}$ es cerrado.

También muestra que si $f(x)=g(x)$ para todo $x$ en algún subconjunto denso de $T$, entonces $f=g$ para todo $x$ en $T".

¡Espero que alguien pueda ayudarme con esto! Gracias.

Answer 1

Sea $h: T \to \Bbb R$ definida por $h(x)=f(x)-g(x)$. Deberías poder mostrar que $h$ es continua. Tu conjunto es precisamente la preimagen bajo $h$ del conjunto cerrado $\{0\}$, por lo que es cerrado por la continuidad de $h.

Si $S$ es un subconjunto denso de $T$, entonces la clausura de $S$ es $T$. Pero la clausura de $S$ es el subconjunto cerrado más pequeño de $T$ que contiene a $S$, y si $S$ es un subconjunto del conjunto cerrado en la primera parte (es decir, si $f, g$ coinciden en $S$), entonces $T$ es el conjunto de la primera parte, lo que significa que $f=g$.

Answer 2

Un resultado más agradable se puede ver como sigue:

Teorema: Para cualquier par $f,g$ de mapeos continuos de un espacio $X$ en un espacio de Hausdorff $Y$, el conjunto $\{x\in X: f(x)=g(x)\}$ es cerrado en $X$.

Prueba: Mostraremos que el conjunto $A=\{x \in X: f(x)\not=g(x)\}$ es abierto. Para cada $x \in A$ tenemos $f(x)\not=g(x)$; por lo tanto, existen conjuntos abiertos $U_1, U_2$ en $Y$ tales que $f(x)\in U_1$, $g(x)\in U_2$ y $U_1\cap U_2=\emptyset$. El conjunto $f^{-1}(U_1) \cap g^{-1}(U_2)$ es un entorno de $x$ contenido en $A.

Y por lo tanto,

Corolario: Para cualquier par $f,g$ de mapeos continuos de un espacio $X$ en un espacio de Hausdorff $Y$ con $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in S$, donde $S$ es un subconjunto denso de $X$, entonces para cualquier $x\in X$, $f(x)=g(x)$.

Prueba: Es claro ver que $S \subset \{x\in X: f(x)=g(x)\}$. Por el teorema anterior, podemos concluir que $\overline{S} \subset \{x\in X: f(x)=g(x)\}$, y por lo tanto $X = \{x\in X: f(x)=g(x)\}$.