Encontrando la ecuación de una línea tangente a una curva implícita

Question

Sea $C=\{(x,y,z): y=2+e^x\sin(2\pi z), \quad z=y^2-\ln(x+1)-3\}$ en $P=(0,2,1)$. Intenté encontrarlo y obtuve la ecuación

$$ z=t,\qquad y=2\pi t-2\pi +2\qquad \text {and}\qquad x=(8\pi-1)t-8\pi+1. $$

No estoy seguro si estoy en lo correcto. Agradezco cualquier ayuda y también quiero obtener el gráfico en algún programa en línea.

¡Gracias!

Answer 1

Sea $f=y-2-e^x\sin(2\pi z)$ y $g=z-y^2+\ln(x+1)+3$ en $p=(0,2,1)$ tenemos $$\vec{v}=\nabla f(p)\times\nabla g(p)=(8\pi-1)\vec{i}+2\pi\vec{j}-\vec{k}$$ entonces $\dfrac{x}{8\pi-1}=\dfrac{y-2}{2\pi}=\dfrac{z-1}{-1}$.