Si $n$ es un entero positivo, prueba que $1+2+3+\cdots+(n-1)$ es congruente a $0\mod n$ si y solo si $n$ es impar

Question

Estoy atascado con esta pregunta. Sé que necesito una fórmula de cálculo pero no puedo recordar cuál es. ¿Cómo debería empezar con ella? ¡Gracias!

Answer 1

La afirmación "si y solo si" implica que necesitas probar la afirmación en las direcciones hacia adelante y hacia atrás. Entonces, hacia adelante significa "si $1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) \equiv 0 \pmod n,$ entonces $n$ es impar. Para comenzar, nota que $$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) = {1\over2}n(n-1).$$ Supongamos, en dirección a una contradicción, que $n$ es par, o en otras palabras, $n=2m$, donde $m\in\mathbb N$. Entonces $${{1\over2}n(n-1) \over n} = {{1\over2}(2m)(2m-1) \over 2m} = {2m-1\over2},$$ pero claramente $2m-1$ es impar, por lo que la divisibilidad no ocurre.

Ahora queremos hacer la dirección inversa (es decir, "Si $n$ es impar, entonces ${n(n-1)\over2}\equiv0 \pmod n.$"). Supongamos que $n = 2m-1$, donde $m\in\mathbb N$. Entonces $${{{1\over2}n(n-1)}\over n} = {1\over2}(n-1) = {1\over2}(2m-1-1) = {1\over2}(2m-2) = {2\over2}(m-1) = m-1.$$ Es claro que $m-1$ es un entero, y por lo tanto ${1\over2}n(n-1) \equiv 0\pmod n.$

Answer 2

Podemos agrupar los números en fragmentos que sumen $n$, como $(1, n-1)$, $(2, n-2)$, y así sucesivamente hasta $(\frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2})$ (si $n$ es impar) o nos queda un solo $\frac{n}{2}$ en el medio si $n$ es par. [Por ejemplo, si $n=6$, tenemos $(1,5), (2,4), 3$; si $n=7$, tenemos $(1,6), (2,5), (3,4)].

Por lo tanto, la suma es congruente a $\frac{n}{2}$ módulo $n$ si $n$ es par, y a $0$ si $n$ es impar.

Answer 3

$1 + 2 + 3 + .....+ (n-1) = n(n-1)/2$.

Proposición:

$n(n-1)/2$ es $0$ mod $n$ si y solo si $n$ es impar.

$\Rightarrow$:

1) Supongamos que $n(n-1)/2$ es divisible por $n$, entonces

$n(n-1)/2 = s × n$, donde $s$ es un número entero positivo.

$(n-1)/2 = s$, y finalmente $n= 2s + 1$, un número impar.

$\Leftarrow$:

2) Supongamos que $n$ es impar:

Entonces $(n-1)$ es par, y $(n-1)/2 = r$, un número entero positivo.

Tenemos $n(n-1)/2 = r×n$, por lo tanto $n$ divide a $n(n-1)/2$.