Encuentra $f(1)+f(3)+f(5)+\dots+ f(999)$ donde $f$ es una función dada

Question

Dado $$f(x)= \frac {1} {\sqrt[3] {x^2+2x+1} + \sqrt[3] {x^2-1} + \sqrt[3] {x^2-2x+1}}$$ y $$E= f(1)+f(3)+f(5)+\dots+ f(999).$$ Entonces encuentra el valor de $E$.

Mi trabajo :- Sea $\sqrt[3] {x+1}= a$, $\sqrt[3] {x-1}=b $ Entonces la ecuación se reduce a $$f(x)= \frac {1}{a^2+b^2+ab}.$$

Ahora para esta expresión intenté descomponer en fracciones parciales para que la suma se reduzca a una cantidad finita pero los términos de raíz cúbica complican este camino directo. Gracias de antemano por la ayuda. Además, si alguien encuentra una forma de racionalizar el denominador, por favor compártalo.

Answer 1

Pista. Dado que $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, se sigue que $$f(x)=\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{a-b}{a^3-b^3}=\frac{\sqrt[3] {x+1}-\sqrt[3] {x-1}}{2}.$$ Por lo tanto, la suma dada es telescópica: $$\sum_{k=0}^{n-1}f(2k+1)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt[3] {2(k+1)}-\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt[3] {2k}\right)=\frac{\sqrt[3] {2n}}{2}.