¿Existen semigrupos de cociente inverso?

Question

Una congruencia en un semigrupo $S$ es una relación de equivalencia $\sigma\subseteq S\times S$ que respeta la multiplicación. En otras palabras $$(a,b), (c,d)\in\sigma \implies (ac, bd)\in\sigma. $$ Dada tal congruencia, el cociente $S/\sigma$ tiene una estructura de semigrupo bien definida $[a][b]=[ab]$ y un mapeo de cociente $S\to S/\sigma.$

Ahora supongamos que $S$ es un semigrupo inverso. Entonces $[a^{\star}]$ actúa como inverso de $[a],$ pero no veo una razón para que sea único. Primero intenté mostrar que si $b\in S$ tiene la propiedad de que $(a, aba), (b, bab)\in\sigma$ entonces $(a^{\star}, b)\in\sigma,$ pero esto no parece funcionar.

• Por otro lado, esto parece un poco extraño. ¿Qué estoy haciendo mal aquí?
• Si $S/\sigma$ es simplemente un semigrupo regular, ¿qué condiciones en $\sigma$ lo obligarían a ser un semigrupo inverso?

Answer 1

Cualquier cociente de un semigrupo inverso es un semigrupo inverso. Una forma fácil de demostrar esto es usar la siguiente caracterización:

Teorema. Un semigrupo es un semigrupo inverso si y solo si es regular y sus idempotentes conmutan.

Ya has demostrado que si $S$ es inverso, entonces $S/\sigma$ es regular. Queda por demostrar que los idempotentes de $S/\sigma$ conmutan. Se necesita el siguiente lema (ver Lema 2.4.3 en [1])

Lema. Sea $[a]$ un idempotente en $S/\sigma$. Entonces existe un idempotente $e$ en $S$ tal que $[e] = [a]$.

Prueba. Dado que $[a]$ es idempotente, $(a, a^2) \in \sigma$. Sea $x$ un inverso de $a^2$ y sea $e = axa$. Entonces $$ e^2 = a(xa^2x)a = axa = e $$ y, módulo $\sigma$ $$ e = axa \equiv a^2xa^2 = a^2 \equiv a $$ así que $(e,a) \in \sigma$. $\quad\blacksquare$

Ahora es fácil terminar la demostración del teorema. Sean $[a]$ y $[b]$ idempotentes en $S/\sigma$. Por el lema, existen idempotentes $e$ en $f$ en $S$ tal que $(e,a) \in \sigma$ y $(f,b) \in \sigma$. Se sigue que, módulo $\sigma$, $$ ab \equiv ef = fe \equiv ba $$ y así $[a][b] = [b][a]$.

[1] John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (no 12), 1995, x+351 p. (ISBN 0-19-851194-9, Math Reviews 1455373).