¿Estas secuencias y series convergen?

Question

Sea $f\in C^1[-\pi,\pi]$ tal que $f(-\pi)=f(\pi)$ y defina $$a_n=\int^{\pi}_{-\pi} f(t)\cos nt dt\,$$ para $n \in\Bbb{N}$ .¿Entonces la secuencia $\{na_n\}$ converge? ¿Y la serie $\sum^{\infty}_{n=1} n^2|a_n|^2$ converge conforme $n\to \infty$.

Sé que $a_n \to 0$ conforme $n\to \infty$ y si la serie converge entonces $\{na_n\}$ debe converger a $0$.

Answer 1

Al integrar por partes, tenemos: $$ n\, a_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\, n\cos(nt)\, dt = -\int_{-\pi}^{\pi} f'(t)\sin(n t)\,dt \tag{1}$$ y dado que $f'\in C^0([-\pi,\pi])$, el RHS de $(1)$ converge a cero por el lema de Riemann-Lebesgue. $f'\in C^0([-\pi,\pi])$ implica $f'\in L^2([-\pi,\pi])$, por lo tanto $$ \sum_{n\geq 1} n^2 a_n^2 <+\infty $$ se sigue de la desigualdad de Bessel.

Answer 2

Sí, la primera pregunta es respondida por el celebrado Lema de Riemann-Lebesgue.

Dado que los coeficientes de Fourier de $f'$ son $na_n$, aplicando la desigualdad de Bessel a $f'$ se obtiene $\sum_n n^2 a_n^2 \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f'|^2$.