Probabilidades de Transiciones para un Proceso de Yule usando Ecuaciones de Avance de Kolmogorov

Question

Necesito usar las ecuaciones directas de Kolmogorov para un proceso de nacimiento puro para derivar las probabilidades de transición del proceso de Yule.

Las ecuaciones para el proceso de nacimiento puro son \begin{align*} &P'_{ii}(t)=-\lambda_{i}P_{ii}(t)\\ &P'_{ij}(t)=\lambda_{j-1}P_{i, j-1}(t)-\lambda_{j}P_{ij}(t), \qquad j >i. \end{align*}

El problema es mostrar que $P_{ij}(t)={j-1 \choose i-1}e^{-\lambda i t}(1-e^{-\lambda t})^{j-i}$ para $j>i$. Tengo una pista para usar inducción en $j$.

Hasta ahora, solo he usado el hecho de que el proceso de Yule tiene $\lambda_{i}=i\lambda$ para escribir las ecuaciones anteriores como

\begin{align*} &P'_{ii}(t)=-i\lambda P_{ii}(t)\\ &P'_{ij}(t)=(j-1)\lambda P_{i, j-1}(t)-j\lambda P_{ij}(t), \qquad j >i. \end{align*} Sin embargo, no estoy seguro de cómo usar la pista de inducción en $j$. Aquí es donde estoy atascado.

Answer 1

Esta fórmula es válida para $j \ge i$. Entonces podemos comenzar la inducción en $j=i$: a partir de la ecuación $P_{ii}'(t) = -i\lambda P_{ii}(t)$, así como la condición inicial obvia $P_{ii}(0)=1$, se tiene

$$P_{ii}(t) = e^{-i\lambda t} = {{i-1} \choose {i-1}}e^{-\lambda it}(1-e^{-\lambda t})^{i-i}.$$

Ahora supongamos que $j>i$ y que el resultado es válido para $j-1$, es decir,

$$P_{i,j-1}(t) = {{j-2}\choose{i-1}}e^{-\lambda it}(1-e^{-\lambda t})^{j-1-i}.$$

Luego, utilizando las ecuaciones hacia adelante, obtenemos la ecuación diferencial

\begin{align*} P_{ij}'(t) &= (j-1)\lambda{{j-2}\choose{i-1}}e^{-\lambda it}(1-e^{-\lambda t})^{j-1-i} -j\lambda P_{ij}(t), \\ P_{ij}(0) &= 0. \end{align*}

Ahora solo tienes que resolver esta ecuación diferencial. Puedes reescribir la primera línea como $$ \frac{d}{dt}\Big(e^{\lambda jt}P_{ij}(t)\Big) = e^{\lambda jt}(j-1)\lambda{{j-2}\choose{i-1}}e^{-\lambda it}(1-e^{-\lambda t})^{j-1-i} = \lambda(j-i){{j-1}\choose {i-1}}e^{\lambda(j-i)t}(1-e^{-\lambda t})^{j-i-1},$$ luego integrar, o simplemente verificar que $$P_{ij}(t) = {{j-1}\choose{i-1}} e^{-\lambda it}(1-e^{-\lambda t})^{j-i}$$ resuelve esta ecuación. Dejo esto en tus manos.