Acción transitiva en el plano semiplano de Poincaré

Question

Estoy tratando de demostrar que la acción de $SL_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{H}$ a través de $$ \left( \begin{array}{ c c } a & b \\ c & d \end{array} \right)z\rightarrow \frac{az+b}{cz+d} $$ es transitiva y el Estabilizador de $i$ es $SO_2(\mathbb{R})$. Para el estabilizador de $i$ tomé una matriz arbitraria y mediante álgebra obtuve que $a^2+b^2=1$ y $c^2+d^2=1$. Es claro que $b$ o $c$ deben ser negativos, pero no puedo encontrar una razón para eliminar el caso en el que $a,d<0. ¿Cómo podemos eliminar este caso si quiero mostrar que $a=cos\theta$, $b=-sen\theta$, $c=sen\theta$, $d=cos\theta$.

Luego estoy atascado en demostrar la parte de que la acción es transitiva. Estoy intentando la estrategia similar a la anterior pero los cálculos se vuelven más complicados

Answer 1

Para el cálculo del estabilizador, también necesitas utilizar que, en virtud de la matriz estar en $SL(2, \mathbb{R})$, tienes $$ad - bc = 1.$$ También puede ser útil tener en cuenta que, por ejemplo, $a^2 + b^2 = 1$, hay algún ángulo $\theta$ tal que $$a = \cos \theta, b = -\sin \theta.$$

Para demostrar que la acción de un grupo $G$ en un espacio $X$ es transitiva, es suficiente elegir un elemento $x_0 \in X$ y mostrar que para todo $x \in X$ hay algún $g \in G$ tal que $x = g \cdot x_0$; entonces, uno puede mapear cualquier elemento $x$ a cualquier otro elemento $y$ mapeando el $x$ a $x_0$ y luego $x_0$ a $y$. A menudo, esto resulta ser más limpio que mostrar directamente que se puede mapear un elemento arbitrario a otro elemento arbitrario, especialmente si se puede elegir un elemento $x_0$ en el que el grupo actúe de manera particularmente agradable.