¿Por qué es $E[Z|Z>c] = \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i$ ($Z$ está censurado)

Question

En un conjunto de problemas probé este "lema", cuyo resultado no es intuitivo para mí. $Z$ es una distribución normal estándar en un modelo censurado.

Formalmente, $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$, y $Z = max(Z^*, c)$. Entonces, $$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integración por sustitución)}\\ &= \phi(c) \end{align}$$ Así que hay algún tipo de conexión entre la fórmula de expectativa sobre un dominio truncado y la densidad en el punto de truncamiento $(c)$. ¿Podría alguien explicar la intuición detrás de esto?

Answer 1

¿Podría funcionar para ti el Teorema Fundamental del Cálculo como intuición?

Sea $\phi(x)$ la función de densidad $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ de una variable aleatoria normal estándar. Entonces, la derivada es $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$. El Teorema Fundamental del Cálculo luego nos da que $$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$$ donde la segunda integral se obtiene sustituyendo $u = -t$ y usando el hecho de que $\phi(-u) = \phi(u)$ y la tercera al notar que $\phi(-x) = \phi(x)$. Alternativamente, escriba la segunda integral como la integral de $-x$ a $+x$ más la integral de $+x$ a $\infty$, y observe que integrar una función impar de $-x$ a $+x$ resulta en $0$.