Cuatro enteros que satisfacen $a+b+c+d\; =\; -3$ y $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\; =\; 3$

Question

Encuentra un conjunto de 4 enteros que satisfagan $$a+b+c+d\; =\; -3$$ y $$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\; =\; 3$$

Realmente no estoy seguro de cómo proceder. Intenté dejar que $d = -c$ para ver si eso daría una solución posible, pero no funcionó. Además, intentar elevar al cubo la primera ecuación solo produce un gran lío. Creo que podría haber una manera de factorizar usando la suma de cubos y hacer sustituciones que podrían simplificarlo, pero no tengo ninguna idea de cómo abordarlo...

Answer 1

Bueno, hay una solución con $a=b=c$.

EDIT: Con $c = -a + k$ y $d = -b-k-3$, el sistema se convierte en $$ k a^2 - k^2 a + 3 k^2 + 9 k + 10 = (k+3) b^2 + (k+3)^2 b $$ que tiene infinitas soluciones enteras para algunos valores enteros de $k$. Por ejemplo, con $k = 2$, escribiendo $a = A/4 + 1$ y $b = (B-5)/2$ obtenemos $$ A^2 = 10 B^2 + 86 $$ (donde queremos soluciones donde $A$ sea divisible por $4$). Una solución es $A = 24, B = 7$ (correspondiendo a $a = 7, b = 1$). Desde la teoría de las ecuaciones de Pell, dado una solución $(A,B)$ de $A^2 = 10 B^2 + 86$, otra es $(A' = 19 A + 60 B, B' = 6 A + 19 B)$. En términos de $a$ y $b$, el mapeo es $$(a,b) \to (a',b') = (19 a + 30 b + 57, 12 a + 19 b + 33)$$ Repetir el mapeo nos da una familia infinita de soluciones $$ \eqalign{ [7, 1,& -5, -6]\cr [220, 136,& -218, -141]\cr [8317, 5257,& -8315, -5262]\cr [315790, 199720,& -315788, -199725]\cr [11991667, 7584193,& -11991665, -7584198]}$$ etc.

Answer 2

Esos trabajan, al igual que

-8,-8,3,10 y -6,-5,1,7

Answer 3

$(3, -2, -2, -2 ) $ funciona. Prueba y error.