Evalúe $\int_{0<x_1,\cdots,x_n<1,\ 0<(x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}}<a}dx_1\cdots dx_n$

Question

$1$. ¿Cómo se puede demostrar que para $n\in\mathbb{N}, a\in(0,1)$ se tiene $$f(a,0):=\int_{0 Esta identidad surge de la teoría de la probabilidad, pero me pregunto si se puede resolver solo usando cálculo.

$2$. Además, para $p\in \mathbb{R}$, ¿podemos dar una forma cerrada al generalizado $$f(a,p):=\int_{0 Este es más abierto. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

1. Deje $f_n(a)=\idotsint\limits_{\substack{0 para $a>0$ (para $a<1$ es su $f(a^{1/n},0)$; para $a\geqslant 1$ es $1$). Entonces $$x_n=x\implies(x_1\cdots x_n así que $f_n(a)=\int_0^1 f_{n-1}(a/x)\,dx=a+\int_a^1 f_{n-1}(a/x)\,dx$ para $0. (Ahora la inducción funciona.)
2. Esta vez, para $g_n(a)=\idotsint\limits_{\substack{0 (y $p>0$), obtenemos $g_1(a)=\min\{a^{1/p},1\}$ y $$g_n(a)=\int_0^{a}g_{n-1}(a-x^p)\,dx,$$ lo cual no parece resolverse explícitamente ($n=2$ ya se ve engorroso).