¿Puede tener una matriz no nula un polinomio característico de cero?

Question

¿Existen algún campo $\mathbb{F}$, algún $n \in \{1,2,\dots\}$, y alguna matriz no nula de $n \times n$ $A$ sobre $\mathbb{F}$, cuyo polinomio característico $p_A(t)$ sea idénticamente $0$?

La misma pregunta fue hecha aquí en el pasado, y la respuesta explicó que dicho $p_A(t)$ era imposible, porque el polinomio característico de una matriz de $n\times n$ tenía grado $n$.

Pero esta respuesta es insatisfactoria, porque en algunos casos un polinomio idénticamente cero tiene un grado positivo: por ejemplo, toma el polinomio $p(t) = t^5 + 4t$ en el campo $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ de los enteros módulo $5$.

Answer 1

Si estás preguntando sobre polinomios característicos, entonces la respuesta a la pregunta que has mencionado es correcta: tiene grado $n$, por lo tanto no puede ser el polinomio nulo.

Pero si estás hablando de funciones polinómicas, entonces sí, la función polinómica correspondiente al polinomio característico de una matriz puede ser la función nula. Toma, por ejemplo $A=\left[\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}\right]$. Entonces $p_A(t)=t^2-t$. Así que, si estás trabajando sobre el campo $\Bbb F_2$, obtendrás la función nula (pero no el polinomio nulo).

Answer 2

Los polinomios no son funciones. $t^5+4t$ no es el polinomio cero sobre $\Bbb Z_5$. Se evalúa como cero en todas partes, por lo que se convierte en la función cero. Pero no es el polinomio cero, ya que tiene coeficientes no nulos.

Por lo tanto, el argumento con el que ya te has encontrado demuestra que el polinomio característico de una matriz nunca puede ser el polinomio cero.