(Actualizado) Ilustración Geométrica de Mapas Monótonos y Mapas Monótonos Máximos

Question

Estoy escribiendo una nota sobre los mapas Monótonos y Maximal Monotone del siguiente libro

http://link.springer.com/book/10.1007%2Fb97594

En este libro leemos que un mapa $T:\mathbb{R}^n\rightrightarrows\mathbb{R}^n$ se llama monótono, si su gráfica es monótona, es decir, $$\langle u-v,x-y\rangle\ge0,\forall u\in T(x),\forall v\in T(y)$$ y es maximal si su gráfica no está contenida adecuadamente en la gráfica de ningún otro operador monótono $$\langle u-v,x-y\rangle\ge0,\forall v\in T(y),y\in \text{dom}\;T\Rightarrow u\in T(x).$$

Por lo tanto, al menos para $n=1,2,3$, quiero tener una ilustración geométrica, por ejemplo la función $f(x)=x,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es monótona, ya que para cada $x_1\sup T(x_2)$), si es así, ¿cómo? Pero para $n=2,3,...$ ¿$x_1

¡Busqué para encontrar algunos gráficos geométricos agradables de tales mapas y no pude encontrar nada! También necesito algunos ejemplos agradables o nuevos de tales mapas, así que si tienes algunos ejemplos de este tipo de mapas en tus investigaciones, alguna conferencia o libro, sería adecuado que me remitieras a ellos.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Para $n=1$ se conoce la estructura del gráfico de un operador maximalmente monótono.

Primero, el dominio y el rango de dicho operador son intervalos (posiblemente degenerados). Si el dominio es solo un valor, entonces el gráfico es una línea vertical que pasa por ese valor (similarmente para el rango siendo degenerado).

Si el dominio es un intervalo no degenerado ($(a,b)$ o $(a,b]$ o $[a,b)$ o $[a,b]$ o $(a,+\infty)$ o $[a,+\infty)$ o $(-\infty,b)$ o $(-\infty,b]$ o $\mathbb{R}$), un operador $T:D(T)\subset\mathbb{R}\rightrightarrows\mathbb{R}$ es maximalmente monótono si $T$ es monótono; $T$ tiene valores convexos cerrados (intervalos); el gráfico es creciente en el sentido de que, para cada $t\in[a,b)\cap\mathbb{R}$, $\inf T((t,+\infty))=\sup T(t)$ y, para cada $t\in(a,b]\cap\mathbb{R}$, $\sup T((-\infty,t))=\inf T(t)$; y una condición en el límite: $T(a)=T(a)+\mathbb{R}_{-}$ cuando $a\in D(T)$ y $T(b)=T(b)+\mathbb{R}_{+}$ cuando $b\in D(T)$. Aquí, $(a,b)$ es el interior de $D(T)$, el dominio de $T.

Para un $n\ge2$ general, el siguiente resultado reciente de Lohne es válido: un operador $T:D(T)\subset\mathbb{R^n}\rightrightarrows\mathbb{R^n}$ es maximalmente monótono si $T$ es monótono; $T$ tiene valores convexos; $D(T)$ es casi-convexo en el sentido de que existe un conjunto convexo $C$ tal que $C\subset D(T)\subset\overline{C}$; $T=T+N_{D(T)}; y $T$ tiene un gráfico cerrado.

Aquí $N_{D(T)}$ denota el cono normal a $D(T).

Algunas referencias de donde saqué estos resultados:

MR2465513 (2010c:47121) Löhne, Andreas, A characterization of maximal monotone operators. Set-Valued Anal. 16 (2008), no. 5-6, 693–700.

MR2899842 Voisei, M. D., Characterizations and continuity properties for maximal monotone operators with non-empty domain interior. J. Math. Anal. Appl. 391 (2012), no. 1, 119–138.

Answer 2

Puede encontrar la fuente de mapeos maximalmente monótonos en lo siguiente y las referencias incluidas:

1. Análisis Variacional, Rockafellar, R. Tyrrell, Wets, Roger J.-B. http://www.springer.com/gp/book/9783540627722

2. Operadores Maximalmente Monótonos en Espacios de Banach, Viorel Barbu http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4419-5542-5_2

3. Conferencias sobre Operadores Maximalmente Monótonos, R. R. Phelps http://arxiv.org/pdf/math/9302209.pdf

4. Funciones Convexas, Operadores Monótonos y Diferenciabilidad, R. R. Phelps http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-540-46077-0