Si cada par de conjuntos abiertos no vacíos tienen intersección no vacía, entonces es hiperconectado.

Question

Demuestra que, en un espacio topológico si cada par de conjuntos abiertos no vacíos tienen intersección no vacía, entonces es hiperconectado.

Steen y Seebach ya han demostrado este teorema. Pero no pude buscar y encontrar su documento en línea. La parte conversa de este teorema es conocida para mí.

Un espacio topológico $X$ se dice que es hiperconectado si el cierre de cada conjunto abierto es $X$.

Answer 1

Lo siguiente son equivalentes para cualquier espacio $X$:

1. Cualquier par de subconjuntos abiertos no vacíos de $X$ tienen intersección no vacía.
2. $X$ no puede ser escrito como la unión de dos subconjuntos cerrados adecuados (es decir, $\neq X$).
3. Cada conjunto abierto no vacío de $X$ es denso (es decir, $\overline{U} = X$).
4. Cada conjunto cerrado adecuado tiene interior vacío.

Prueba:

1. implica 2.: Supongamos 1. Supongamos $X = C\cup D$, donde $C,D$ son cerrados. Entonces $(X\setminus C) \cap (X\setminus D) = X\setminus (C \cup D) = \emptyset$ por de Morgan, por lo que 1. implica que $X\setminus C$ o $X\setminus D$ es vacío (son abiertos, por lo que no pueden ser ambos no vacíos). Entonces $C=X$ o $D=X$.

2. implica 3.: Supongamos que $O$ es abierto no vacío. Si $C = \overline{O} \neq X$, entonces $X = C \cup (X \setminus O)$ escribe $X$ como la unión de dos conjuntos cerrados adecuados, lo cual no puede ser.

3. implica 4.: Si $C$ es cerrado, $C \neq X$, y supongamos que $O:= \operatorname{int}(C) \neq \emptyset$. Entonces por 3. $X =\overline{O} \subseteq \overline C = C \neq X$, contradicción. Entonces 4. es válida.

4. implica 1.: Supongamos que $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos no vacíos de $X$. Si $U \cap V = \emptyset$, $U \subseteq X\setminus V$, entonces $\emptyset \neq U \subseteq \operatorname{int}(X \setminus V)$, contradicción con 4.

Answer 2

Sea $U \subset X$ un conjunto abierto y no vacío. Si $\overline U \neq X$, entonces $X - \overline U$ es un conjunto abierto no vacío que no se interseca con $U$; esto contradice tu hipótesis.