El cambio de $Y$ por $X$ es la pendiente. Y algunos dicen que el cambio de pendiente por $X$ es la derivada. ¡Así que es como la pendiente de una pendiente!
Pero las pendientes siempre son números, como la pendiente de $2x$ es $2$. Pero las derivadas no son solo números, como la derivada de $3x^2$ es $6x$. Esto me confunde, ¿puede alguien explicar por favor? Gracias.
La derivada de $f$ en el punto $x$ es la pendiente de la recta tangente a $f$ en el punto $x$. Entonces para $f(x) = 3x^2$, tenemos que $f'(x) = 6x$. Esto significa que la función derivada $f'(x)$ toma un valor $x$ y devuelve la pendiente de la recta tangente de $f$ en el punto $x$. Puedes ver la función derivada como una función que toma puntos y devuelve pendientes tangentes a $f$ en dichos puntos. Cada una de estas pendientes es simplemente un número, pero por supuesto la pendiente tangente depende de en qué punto estés calculando la tangente, de ahí la dependencia de $f'$ en $x$.
Si graficaras $3x^2$, notarías que la pendiente es diferente para cada valor de $x$, por lo que la derivada de la derivada es básicamente, como lo mencionas, de cierta manera la pendiente de una pendiente.
Tal vez sea más fácil no verlo como una pendiente, sino más como un incremento de $y$ por incremento de $x$. Puedes ver que eso cambia a lo largo del gráfico porque en algunos puntos el gráfico es más "empinado", lo que implica que un pequeño paso tomado en el eje $x$ podría resultar en un gran paso en el eje $y$. Por lo tanto, la derivada de la derivada se reduce a qué tan empinado se está volviendo el gráfico en ciertos puntos.
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