Dos declaraciones contradictorias en el libro <General topology> de Stephen Willard

Question

Hay una afirmación en 8D

Si $X_\alpha$ es un espacio topológico no vacío y $A_\alpha \subset X_\alpha$, para cada $\alpha \in A$, entonces $\prod A_\alpha$ es denso en $\prod X_\alpha$ si y solo si $A_\alpha$ es denso en $X_{\alpha}$, para cada $\alpha$.

Hay una afirmación en 8E:

Sea $X_\alpha$ un espacio topológico no vacío para cada $\alpha \in A$, y sea $X = \prod X_{\alpha}$. Si $b_\alpha$ es un punto fijo en $X_\alpha$, para cada $\alpha \in A$. Entonces $B = \{x \in X | x_\alpha = b_\alpha \text{excepto por finitos} \alpha \in A\}$ es un conjunto denso en $X$, es decir $Cl_XB =X$

Si 8D es verdad, ¿Cómo puede ser denso un solo punto en $X_\alpha$?

Answer 1

$B$ no es de la forma $\prod_\alpha A_\alpha$, por lo que ese teorema no se aplica.

Se puede escribir como una unión

$$B = \bigcup_{F \subseteq A\text{ finito }} \{\prod_{\alpha} A_\alpha : \forall \alpha \in F: A_\alpha = X_\alpha; \forall \alpha \notin F: A_\alpha = \{b_\alpha\}\}$$

pero eso es mucho más grande que solo un único producto así... Y cada subconjunto de los que tomamos una unión no es denso, pero su unión es densa, algo así como ningún $\{q\}, q \in \Bbb Q$ es denso, pero su unión sí lo es.